Cálculo do volume de um tetraedro inscrito num cone

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Em um cone circular reto de altura e raio da base inscreve-se um tetraedro regular com uma de suas faces paralela à base do cone, e o vértice oposto coincidindo com o centro da base do cone. Determine o volume do tetraedro.

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Cálculo do termo independente da divisão entre dois polinômios

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Determine o termo constante do resto da divisão do polinômio por .

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Cálculo das coordenadas de um ponto que pertence a duas circunferências

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Considere as circunferências

e

O triângulo satisfaz as seguintes propriedades:
i) o lado coincide com a corda comum a e ;
ii) o vértice pertence ao primeiro quadrante;
iii) o vértice pertence a e a reta que contém é tangente a .
Determine as coordenadas do vértice .

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Cálculo de raízes de uma equação polinomial

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Sejam , , números reais com .
a) Mostre que a mudança transforma a equação a seguir
numa equação de segundo grau.
b) Determine todas as raízes da equação .

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Cálculo de distâncias e dos pontos que equidistam de dois conjuntos num plano cartesiano

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Sejam um subconjunto de e um ponto de . Define-se distância de a , , como a menor das distâncias , com :

Sejam e .
i) Determine quando e quando .
ii) Determine o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de e de .

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Cálculo da probabilidade de um menino voltar à sua posição inicial no sexto passo

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Numa certa brincadeira, um menino dispõe de uma caixa contendo quatro bolas, cada qual marcada com apenas uma destas letras: , , e . Ao retirar aleatoriamente uma bola, ele vê a letra correspondente e devolve a bola à caixa. Se essa letra for , ele dá um passo na direção Norte; se , em direção Sul, se , na direção Leste e se , na direção Oeste.
Qual a probabilidade de ele voltar para a posição inicial no sexto passo?

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Cálculo de matrizes que satisfazem a algumas equações

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Seja a matriz de ordem , dada pela equação a seguir.

a) Determine todas as matrizes tais que .
b) Existe uma matriz com que satisfaça ?
Se sim, dê um exemplo de uma dessas matrizes.

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Cálculo da relação entre os raios de duas circunferências cujos polígonos regulares inscritos têm a mesma área

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Um hexágono convexo regular e um triângulo equilátero estão inscritos em circunferências de raios e , respectivamente. Sabendo-se que e têm mesma área, determine a razão .

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Resolução de um sistema de equações trigonométricas

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Sejam x e y pertencentes ao intervalo . Determine todos os pares ordenados tais que:

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Cálculo de propriedades de uma função logarítmica cujo argumento é uma função do segudo grau

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Seja a função definida por . Determine:
a) O domínio da função .
b) O conjunto de todos os valores de tais que .
c) O conjunto de todos os valores de tais que .

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