Carlos Humberto de Oliveira

Cálculo da relação entre os raios de duas circunferências cujos polígonos regulares inscritos têm a mesma área

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Um hexágono convexo regular e um triângulo equilátero estão inscritos em circunferências de raios e , respectivamente. Sabendo-se que e têm mesma área, determine a razão .

Cálculo equação de uma reta baseado na área de um quadrilátero

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Se a reta de equação divide o quadrilátero cujos vértices são , , e em duas regiões de mesma área, então o valor de é igual a:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .

Cálculo da área de um triângulo construído a partir de uma circunferência

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Sejam uma circunferência de raio e uma corda em de comprimento . As tangentes a em e em interceptam-se no ponto exterior a . Então, a área do triângulo , em , é igual a:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .

Cálculo de uma expressão de matrizes

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Se e , então é igual a:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .

Verificação de propriedades de equações modulares

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Considere as funções , , , sendo , e igual ou maior valor entre e , para cada . Determine:
a) Todos os tais que .
b) O menor valor assumido pela função .
c) Todas as soluções da equação .

Cálculo do seno da diferença entre os dois ângulos de um triângulo

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Um triângulo retângulo tem perímetro igual a em que é o comprimento da hipotenusa. Se e são seus ângulos agudos, com , então é igual a:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .

Cálculo do cosseno de um ângulo formado pelo centro de uma circunferência e dois pontos pertencentes a ela

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Se e são pontos que pertencem à circunferência e à reta então o valor do cosseno do ângulo é igual a:
a) .
b) .
c) .
d) .
e) .

Cálculo de raízes de uma equação polinomial

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Sejam , , números reais com .
a) Mostre que a mudança transforma a equação a seguir
numa equação de segundo grau.
b) Determine todas as raízes da equação .

Cálculo da probabilidade de um menino voltar à sua posição inicial no sexto passo

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Numa certa brincadeira, um menino dispõe de uma caixa contendo quatro bolas, cada qual marcada com apenas uma destas letras: , , e . Ao retirar aleatoriamente uma bola, ele vê a letra correspondente e devolve a bola à caixa. Se essa letra for , ele dá um passo na direção Norte; se , em direção Sul, se , na direção Leste e se , na direção Oeste.
Qual a probabilidade de ele voltar para a posição inicial no sexto passo?

Cálculo de distâncias e dos pontos que equidistam de dois conjuntos num plano cartesiano

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Sejam um subconjunto de e um ponto de . Define-se distância de a , , como a menor das distâncias , com :

Sejam e .
i) Determine quando e quando .
ii) Determine o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de e de .

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