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Problema de geometria analítica com equação de 2º grau

A parte interior de uma taça foi gerada pela rotação de uma parábola em torno de um eixo z, conforme mostra a figura A.
A função real que expressa a parábola, no plano cartesiano da figura, é dada pela lei , onde é a medida da altura do líquido contido na taça, em centímetros.
Sabe-se que o ponto , na figura, representa o vértice da parábola, localizado sobre o eixo x.
Nessas condições, a altura do líquido contido na taça, em centímetros, é:
a) 1.
b) 2.
c) 4.
d) 5.
e) 6.

Taça no plano cartesiano
Figura A
1

A questão cai no descobrimento do vértice da parábola, que pode ser encontrado pelas seguintes fórmulas:

Onde é a coordenada X do vértice.
Onde é a coordenada Y do vértice.

2

Pelo gráfico podemos ver que a coordenada Y do vértice é 0 (zero). Podemos usar então a segunda equação, substituindo com os coeficientes da fórmula parábola:

Na nossa função temos os coeficientes:
a = 3/2
b = - 6
c = C

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Realizando os cálculos

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Resposta é a opção E

1

Observando que a parábola toca o eixo x em apenas 1 ponto, então somente 1 valor de x faz com que a função se iguale a zero.

2

Substituindo os coeficientes

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Alternativa E

1

Observando-se o gráfico e vendo que é uma equação de segundo grau, com um vale, ou seja um momento onde a taxa de crescimento se iguala a zero. Temos:

2

sendo C uma constante arbitrária, derivamos a função afim de lhe diminuir 1 grau e facilitar o encontro de x, derivaremos as partes dos coeficients a e b, e a constante arbitrária C, convenientemente será zero.

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Juntando tudo, temos x

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Voltando a formula original e aplicando a ela o valor de x, acharemos a contrante C, única incógnita restante

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Invertendo-se a formula temos o resulta do da letra E

enviado por Luiz Zamboni em

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