106 exercícios resolvidos de Geometria

Área da base de uma torre inclinada

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As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. (FIGURA 1)
Utilizando como valor aproximado para a tangente de
e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a
área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço
a) menor que .
b) entre e .
c) entre e .
d) entre e .
e) maior que .

Rotação de Figuras

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As Figuras do Enunciado 1 e 2 exibem um trecho de um quebra-cabeças
que está sendo montado. Observe que as peças são
quadradas e há 8 peças no tabuleiro da figura A e 8 peças no
tabuleiro da figura B. As peças são retiradas do tabuleiro da
figura B e colocadas no tabuleiro da figura A na posição
correta, isto é, de modo a completar os desenhos.
É possível preencher corretamente o espaço indicado pela
seta no tabuleiro da figura A colocando a peça:
A) 1 após girá-la no sentido horário.
B) 1 após girá-la no sentido anti-horário.
C) 2 após girá-la no sentido anti-horário.
D) 2 após girá-la no sentido horário.
E) 2 após girá-la no sentido anti-horário.

Simplificação de uma figura artística numa esboço geométrico

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Em Florença, Itália, na Igreja de Santa Croce, é possível
encontrar um portão em que aparecem os anéis de
Borromeo. Alguns historiadores acreditavam que os círculos representavam as três artes: escultura, pintura e arquitetura,
pois elas eram tão próximas quanto inseparáveis, conforme a Figura do Enunciado.
Qual dos esboços a seguir melhor representa os anéis de
Borromeo?
As opções de resposta estão nas figura a seguir.

Geometria espacial em uma obra artística

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Suponha que, na escultura do artista Emanoel Araújo,
mostrada na Figura do Enunciado, todos os prismas numerados em
algarismos romanos são retos, com bases triangulares, e que
as faces laterais do poliedro são perpendiculares à sua
própria face superior, que, por sua vez, é um triângulo
congruente ao triângulo base dos prismas. Além disso,
considere que os prismas e são perpendiculares ao
prisma e ao poliedro .
Imagine um plano paralelo à face do prisma , mas que
passe pelo ponto pertencente à aresta do poliedro ,
indicado na figura. A interseção desse plano imaginário com
a escultura contém:
A) dois triângulos congruentes com lados correspondentes
paralelos.
B) dois retângulos congruentes e com lados correspondentes
paralelos.
C) dois trapézios congruentes com lados correspondentes
perpendiculares.
D) dois paralelogramos congruentes com lados
correspondentes paralelos.
E) dois quadriláteros congruentes com lados
correspondentes perpendiculares.

Cálculo da quantidade de esferas dentro de uma caixa cúbica dado o volume da caixa

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Uma empresa que fabrica esferas de aço, de 6 cm de raio,
utiliza caixas de madeira, na forma de um cubo, para
transportá-las. Sabendo que a capacidade da caixa é de
, então o número máximo de esferas que podem
ser transportadas em uma caixa é igual a:
A) 4.
B) 8.
C) 16.
D) 24.
E) 32.

Divisão da riqueza de um terreno em partes iguais

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Ao morrer, o pai de João, Pedro e José deixou como herança
um terreno retangular de que contém uma área
de extração de ouro delimitada por um quarto de círculo de
raio a partir do canto inferior esquerdo da propriedade.
Dado o maior valor da área de extração de ouro, os irmãos
acordaram em repartir a propriedade de modo que cada um
ficasse com a terça parte da área de extração, conforme
mostra a Figura do Enunciado.
Em relação à partilha proposta, constata-se que a
porcentagem da área do terreno que coube a João
corresponde, aproximadamente, a:
A) .
B) .
C) .
D) .
E) .

Cálculo da nova vazão de uma canaleta de um rio

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A vazão do rio Tietê, em São Paulo, constitui preocupação
constante nos períodos chuvosos. Em alguns trechos, são
construídas canaletas para controlar o fluxo de água. Uma
dessas canaletas, cujo corte vertical determina a forma de
um trapézio isósceles, tem as medidas especificadas na
Figura do Enunciado I. Neste caso, a vazão da água é de . O
cálculo da vazão, em , envolve o produto da área A
do setor transversal (por onde passa a água), em , pela
velocidade da água no local, , em , ou seja, .
Planeja-se uma reforma na canaleta, com as dimensões
especificadas na Figura do Enunciado II, para evitar a ocorrência de
enchentes.
Na suposição de que a velocidade da água não se alterará,
qual a vazão esperada para depois da reforma na canaleta?
A) .
B) .
C) .
D) .
E) .

Cálculo de economia de um novo volume de um sólido

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Uma fábrica produz velas de parafina em forma de pirâmide
quadrangular regular com 19 cm de altura e 6 cm de aresta
da base. Essas velas são formadas por 4 blocos de mesma
altura - 3 troncos de pirâmide de bases paralelas e 1
pirâmide na parte superior, espaçados de 1 cm entre eles,
sendo que a base superior de cada bloco é igual à base
inferior do bloco sobreposto, com uma haste de ferro
passando pelo centro de cada bloco, unindo-os, conforme a
Figura do Enunciado.
Se o dono da fábrica resolver diversificar o modelo,
retirando a pirâmide da parte superior, que tem 1,5 cm de
aresta na base, mas mantendo o mesmo molde, quanto ele
passará a gastar com parafina para fabricar uma vela?
A) .
B) .
C) .
D) .
E) .

Corte de pirâmide por um plano

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Um artesão construiu peças de artesanato interceptando uma
pirâmide de base quadrada com um plano. Após fazer um
estudo das diferentes peças que poderia obter, ele concluiu
que uma delas poderia ter uma das faces pentagonal.
Qual dos argumentos a seguir justifica a conclusão do
artesão?
A) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 arestas laterais e a
interseção de um plano com a pirâmide intercepta suas
arestas laterais. Assim, esses pontos formam um polígono de
4 lados.
B) Uma pirâmide de base quadrada tem 4 faces triangulares
e, quando um plano intercepta essa pirâmide, divide cada
face em um triângulo e um trapézio. Logo, um dos
polígonos tem 4 lados.
C) Uma pirâmide de base quadrada tem 5 faces e a
interseção de uma face com um plano é um segmento de
reta. Assim, se o plano interceptar todas as faces, o polígono
obtido nessa interseção tem 5 lados.
D) O número de lados de qualquer polígono obtido como
interseção de uma pirâmide com um plano é igual ao
número de faces da pirâmide. Como a pirâmide tem 5 faces,
o polígono tem 5 lados.
E) O número de lados de qualquer polígono obtido
interceptando-se uma pirâmide por um plano é igual ao
número de arestas laterais da pirâmide. Como a pirâmide
tem 4 arestas laterais, o polígono tem 4 lados.

Planificação de Sólidos Geométricos

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Alguns testes de preferência por bebedouros de água foram
realizados com bovinos, envolvendo três tipos de
bebedouros, de formatos e tamanhos diferentes. Os
bebedouros e têm a forma de um tronco de cone circular
reto, de altura igual a , e diâmetro da base superior igual a e , respectivamente. O
bebedouro é um semicilindro, com de altura, de comprimento e de largura. Os três recipientes
estão ilustrados na Figura do Enunciado.
Considerando que nenhum dos recipientes tenha tampa, qual
das Figuras de Resposta a seguir representa uma planificação para o
bebedouro ?

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