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Cálculo das raízes de um polinômio

Considere o polinômio dado por , em que é um número real.
a) Determine todos os valores de sabendo-se que tem uma raiz de módulo igual a e parte imaginária não nula.
b) Para cada um dos valores de obtidos em , determine todas as raízes do polinômio .

1

O polinômio é igual a:

2

Como tem grau , ele possui, no máximo, raízes.

3

No máximo delas imaginárias e real. Uma delas possui parte imaginária não-nula e módulo igual a , assim ela é da forma , com .

4

A outra raiz de é o conjugado de , e a outra é um número real . Assim as raízes de são:

5

Logo:

6

Substituindo em na primeira equação, temos que:

7

Continuando:

8

Se , temos que:

9

O que não pode ocorrer, pois assim nenhuma raiz seria imaginária.

10

Se , então , logo:

11

Continuando:

12

O conjunto solução, , é:

13

Se , então , logo:

14

Continuando:

15

O conjunto solução, , é:

16

As respostas são:

enviado por Carlos Humberto de Oliveira em

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