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Verificação de propriedades de um polinômio de coeficientes imaginários

Considere o polinômio com coeficientes complexos definido por:

Podemos afirmar que:
a) nenhuma das raízes de é real.
b) não existem raízes de que sejam complexas conjugadas.
c) a soma dos módulos de todas as raízes de é igual a .
d) o produto dos módulos de todas as raízes de é igual a .
e) o módulo de uma das raízes de é igual a .

Figura de Resolução
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Como o grau de é , ele possui raízes complexas.

2

Observe que não é raiz de , pois:

3

Observe que é raiz de , pois:

4

Observe que é raiz de , pois:

5

Continuando:

6

Só podemos afirmar que o conjugado de uma raiz complexa também é raiz, quando os coeficientes do polinômio são números reais.

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Entretanto observe que é raiz de , pois:

8

Portanto, é divisível pelo polinômio a seguir.

9

A divisão do polinômio pelo através do Algoritmo de Briot-Ruffini está na Figura de Resolução.

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Assim:

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Ou seja, as raízes de são iguais a:

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Vamos analisar cada uma das alternativas.

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Alternativa A: Falsa. é raiz de .

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Alternativa B: Falsa. e são raízes de .

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Alternativa C: Falsa. Temos que:

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Alternativa D: Falsa. Temos que:

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Alternativa E: Verdadeira. Temos que:

enviado por Carlos Humberto de Oliveira em

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