Verificação das propriedades de um polinômio

Descrição do Exercício:

Seja o polinômio dado por , em que os expoentes ; ; formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a . Considere as seguintes afirmações:
I) é uma raiz dupla de .
II) é uma raiz dupla de .
III) tem quatro raízes com parte imaginária não nula.
Destas, é (são) verdadeira(s):
a) apenas .
b) apenas e .
c) apenas e .
d) apenas e .
e) , e .

Figura de Resolução
1

Como formam uma cuja soma é igual a , temos que:

2

Continuando:

3

Continuando:

4

Logo:

5

O polínômio é .

6

Vamos analisar cada uma das alternativas.

7

I: Verdadeira. Pois o polinômio é:

8

II: Falsa. é raiz de , pois:

9

também é raiz de , pois:

10

Logo é divisível por (a divisão está na Figura de Resolução). Portanto:

11

Vamos calcular as raízes de . fazendo , temos que:

12

Assim:

13

III: Verdadeira. Conforme a equação anterior, possui raízes imaginárias cuja parte imaginária é não-nula.

14

Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.

15

A Resposta é a Letra C.

enviado por Carlos Humberto de Oliveira em

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