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Análise Combinatória e Triângulos

Considere 12 pontos distintos do plano, 5 dos quais estão numa mesma reta. Qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 destes pontos. Quantos triângulos podemos formar com os vértices nestes pontos?

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Vamos chamar a reta explicitada no enunciado de reta r.

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Vamos resolver este problema, calculando-se o número total de traiâgulos a serem formados com todos os 12 pontos e retirar o números de triângulos que foram contados juntando-se os 5 pontos que estão na reta r, pois estes não formam triângulo.

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Assim, o número de triângulos que podem ser formados com estes 12 pontos é igual a:

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O número de pontos escolhidos 3 a 3 na reta r é:

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Assim, o número de triângulos que podem ser formados é:

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Desenvolvendo-se a conta anterior temos:

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Continuando:

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Assim há 210 triângulos a serem formados com estes 12 pontos.

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Agora vamos dar uma solução direta para o problema.

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Como qualquer outra reta do plano contém, no máximo, 2 pontos destes 12, só podemos formar triângulo, escolhendo-se 2 pontos fora da reta r e 1 na reta, ou 2 pontos na reta r e 1 fora dela ou 3 pontos fora da reta r. Assim o número de triângulos a serem formados é:

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Desenvolvendo-se a conta da etapa anterior, temos:

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Continuando:

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Continuando:

enviado por Carlos Humberto de Oliveira em

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