Cálculo das probabilidades de se escolher um grupo de atletas entre um grupo de equipes

Descrição do Exercício:

Uma competição esportiva envolveu equipes
com atletas cada. Uma denúncia à organização dizia
que um dos atletas havia utilizado substância proibida.
Os organizadores, então, decidiram fazer um exame
antidoping. Foram propostos três modos diferentes para
escolher os atletas que irão realizá-lo:
I) sortear três atletas dentre todos os participantes;
II) sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;
III) sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.
Considere que todos os atletas têm igual probabilidade
de serem sorteados e que , e sejam as
probabilidades de o atleta que utilizou a substância
proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do
sorteio ser feito pelo modo , ou .
Comparando-se essas probabilidades, obtém-se:
A) .
B) .
C) .
D) .
E) .

1

Seja um evento e o conjuntos com todos os eventos possíveis num experimento. A probabilidade de ocorrer é:

2

Vamos considerar em cada um dos modos de sorteio que a ordem de escolha importa, ou seja, o jogador (ou equipe) pode ser escolhido na , ou retirada.

3

I) Sortear três atletas dentre todos os participantes.

4

Com a ordem de escolha dos atletas importa, a quantidade de possibilidades de escolher atletas, entre é:

5

A quantidade total de possibilidades de o atleta dopado ser escolhido na retirada é:

6

Ou seja, ele sai na retirada e há atletas diferentes na retirada e atletas diferentes na .

7

Analogamente, a probabilidade de o atleta ser retirado na e retirada são respectivamente:

8

Assim:

9

II) Sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas.

10

Dado que uma equipe foi escolhida, a quantidade total de possibilidades de se escolher atletas em (lembrando que a ordem importa) é:

11

Assim a quantidade total de possibilidades ao se escolher uma equipe e sortear atletas é:

12

A quantidade total de possibilidades de o atleta dopado ser escolhido na retirada é:

13

Ou seja, a equipe dele é escolhida, ele sai na retirada e há atletas diferentes na retirada e atletas diferentes na .

14

Analogamente, a probabilidade de o atleta ser retirado na e retirada são respectivamente:

15

Assim:

16

III) Sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.

17

Dado que equipes foram escolhidas, a quantidade total de possibilidades de se escolher atleta de cada equipe é:

18

Assim a quantidade total de possibilidades ao se escolher equipes e sortear atleta de cada uma delas:

19

A quantidade total de possibilidades de o atleta dopado ser escolhido na retirada é:

20

Ou seja, a equipe dele é escolhida na retirada e há equipes diferentes na retirada e equipes diferentes na .

21

Como a equipe dele saiu na retirada, ele sai no primeiro sorteio e há atletas diferentes na retirada e atletas diferentes na retirada.

22

Analogamente, a probabilidade de a equipe do atleta ser retirada na e retirada são respectivamente:

23

Assim:

24

Continuando:

25

Assim:

26

A Resposta é a Letra E.

enviado por Carlos Humberto de Oliveira em

quanto isto lhe ajudou ?