média de 3 em
2 avaliações

Sequências Numéricas - Exercício Avançado

Seja , uma função tal que para todo n, inteiro poditivo. Determine o valor de .

1

Observe que, se :

2

Assim, temos que:

3

Continuando:

4

Continuando:

5

Vamos analisar alguns valores de para tentar encontrar alguma Fórmula para a sequência:

6

Mais um valor para :

7

Podemos supor que os termos dessa sequência podem ser calculados com a seguinte Fórmula:

8

Para provar que a nossa suposição está correta, vamos aplicar o Princípio da Indução Finita:

9

\textbf{Hipótese de Indução:} Os termos da nossa sequência podem ser representados pela Fórmula até o valor . Vamos provar que ela é válida para . Assim:

Esta é a Fórmula que chegamos na etapa (não é a suposição).

10

Pela Hipótese de Indução, a Fórmula é válida até o valor . Substituindo-se a Fórmula na expressão da etapa anterior, temos:

11

Basta reorganizar os termos da expressão da etapa anterior para ver que a Fórmula é válida para :

12

Assim, pelo Princípio da Indução Finita, temos que a Fórmula é válida para todo número natural.

13

Assim:

14

Basta cancelar os termos iguais nos numeradores e denominadores, assim temos:

15

Assim:

enviado por Carlos Humberto de Oliveira em

quanto isto lhe ajudou ?