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Progressão aritmética e Maximização

Uma progressão aritmética , onde , tem . Se é a soma dos n primeiros termos desta progressão, qual é o valor de n para que seja máxima?

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Vamos utilizar a expressão dada pelo exercício e a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética. A fórmula geral de uma progressão aritmética é:

Onde é o primeiro termo da P.A., n é o n-ésimo termo da P.A. e r é a razão.

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Pela expressão dada no enunciado do exercício temos:

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Continuando:

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A fórmula da soma dos termos de uma P.A. é:

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Substituindo na fórmula anterior, temos:

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Continuando:

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Agora, analisando-se a fórmula anterior, temos que ter e tomar o ponto mínimo do polinômio de segundo grau , pois neste ponto teremos o máximo valor de .

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O ponto de mínimo do polinômio é igual a semi-soma de suas raízes. As raízes deste polinômio são:

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A semi-soma das raízes é .

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Logo o valor de n para que seja o máximo é:

enviado por Carlos Humberto de Oliveira em

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