Carlos Humberto de Oliveira

Trabalho estagiária na Fiocruz no controle de qualidade de 5 laboratórios e aluna de iniciação científica na área de Polímeros na UERJ. Faço Engenharia Química e no pouco tempo livre que me resta, procuro praticar exercícios.

Emanuella Agassi

Bacharel em Letras pela Universidade Federal de Santa Catarina, técnica eletrônica pelo CEFET-RJ, atua na área administrativa e dá aulas. Gosta de ouvir rock. 
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Glória Celeste

Formado em Desenho Industrial, entrou de cabeça no desenvolvimento web, juntando o curso pela metade de Engenharia Mecânica resolveu fazer esse site bacanudo aí. :) 

Luiz Zamboni

 Atualmente estou cursando licenciatura em física na UFRJ, e comecei em 2013 a trabalhar em sala de aula através do projeto PIBID da Capes. No futuro, pretendo trabalhar como pesquisador em física e professor universitário.

Tarcisio Lima

Em um cone circular reto de altura $1$ e raio da base $1$ inscreve-se um tetraedro regular com uma de suas faces paralela à base do cone, e o vértice oposto coincidindo com o centro da base do cone. Determine o volume do tetraedro.
Resolução
<hr/>
1) Observe a Figura de Resolução.
2) Seja a a medida da aresta do tetraedro regular ABCD.
3) O volume V do tetraedro regular ABCD é igual a:
<ul>
<li>$V = \dfrac{1}{3}\cdot A_b\cdot AM \Rightarrow$</li>
<li>$V = \dfrac{1}{3}\cdot\dfrac{a^2 \sqrt{3}}{4}\cdot AM$</li>
</ul>
4) A medida da altura $\overline{AM}$ é igual a $\frac{a\sqrt{6}}{3}$, logo o volume do tetradro é igual a:
<ul>
<li>$V = \dfrac{1}{3}\cdot A_b\cdot AM \Rightarrow$</li>
<li>$V = \dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12}$</li>
</ul>
5) Pela simetria da Figura de Resolução, $ \overline{BH}$ é a altura e M é o baricentro do triângulo $\triangle BCD$, assim:
<ul>
<li>$BH=a \cdot sen{\left(60^{\circ}\right)} \Rightarrow$</li>
<li>$BM=\dfrac{2}{3}\cdot BH \Rightarrow$</li>
<li>$BM=\dfrac{2}{3}\cdot \dfrac{a\sqrt{3}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$BM= \dfrac{a\sqrt{3}}{3}$</li>
</ul>
6) O triângulo $\triangle BMV$ é retângulo em $\widehat{M}$, Como $\angle M\widehat{V}B=45^{\circ}$, segue que $VM=BM$, logo:
<ul>
<li>$VM=BM \Rightarrow$</li>
<li>$1-AM=\dfrac{a\sqrt{3}}{3} \Rightarrow$</li>
<li>$1-\dfrac{a\sqrt{6}}{3}=\dfrac{a\sqrt{3}}{3} \Rightarrow$</li>
<li>$1=\dfrac{a\sqrt{3}+a\sqrt{6}}{3} \Rightarrow$</li>
<li>$a=\dfrac{3}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)}$</li>
</ul>
7) Continuando:
<ul>
<li>$a=\dfrac{3}{\left(\sqrt{6}+\sqrt{3}\right)}\cdot\dfrac{\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)} \Rightarrow$</li>
<li>$a=\dfrac{3\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)}{6-3} \Rightarrow$</li>
<li>$a=\dfrac{3\left(\sqrt{6}-\sqrt{3}\right)}{3} \Rightarrow$</li>
<li>$a=\sqrt{6}-\sqrt{3}$</li>
</ul>
8) Assim:
<ul>
<li>$V=\dfrac{a^3 \sqrt{2}}{12} \Rightarrow$</li>
<li>$V=\dfrac{{\left( \sqrt{6}-\sqrt{3} \right)}^3 \sqrt{2}}{12} \Rightarrow$</li>
<li>$V=\dfrac{{\left( 6\sqrt{6}-3{\left(\sqrt{6} \right)}^2\sqrt{3}+3{\left(\sqrt{3} \right)}^2\sqrt{6}+3\sqrt{3} \right)} \sqrt{2}}{12} \Rightarrow$</li>
<li>$V=\dfrac{{\left( 6\sqrt{6}-18\sqrt{6} \sqrt{3}+9\sqrt{6}+3\sqrt{3} \right)} \sqrt{2}}{12} \Rightarrow$</li>
<li>$V=\dfrac{{\left( 15\sqrt{6}-21\sqrt{3} \right)} \sqrt{2}}{12}$</li>
</ul>
9) Continuando:
<ul>
<li>$V=\dfrac{{\left( 15\sqrt{6}-21\sqrt{3} \right)} \sqrt{2}}{12} \Rightarrow$</li>
<li>$V=\dfrac{{\left( 15\sqrt{2}\sqrt{6}-21\sqrt{6} \right)}}{12} \Rightarrow$</li>
<li>$V=\dfrac{\sqrt{6}{\left( 15\sqrt{2}-21 \right)}}{12} \Rightarrow$</li>
<li>$V=\dfrac{\sqrt{6}{\left( 5\sqrt{2}-7 \right)}}{4}$</li>
</ul>
10) O volume do tetraedro $V$ é igual a:
<ul>
<li>$V=\dfrac{\sqrt{6}{\left( 5\sqrt{2}-7 \right)}}{4}$</li>
</ul>

Figura de Resolução

Cálculo do volume de um tetraedro inscrito num cone

Determine o termo constante do resto da divisão do polinômio ${\left(1 + x + x^2\right)}^{40}$ por ${\left(1 + x\right)}^3$.
Resolução
<hr/>
1) Temos que:
<ul>
<li>${\left(1 + x + x^2\right)}^{40} \Rightarrow {\left[1 + x\cdot \left(1+x \right)\right]}^{40} \Rightarrow$</li>
<li>${\displaystyle \binom{40}{0}}{\left[x \left(1+x \right)\right]}^{40}\cdot 1^0 +{\displaystyle \binom{40}{1}}{\left[x \left(1+x \right)\right]}^{39}\cdot 1^1 +\cdots$</li>
<li>$\cdots+{\displaystyle \binom{40}{37}}{\left[x \left(1+x \right)\right]}^{3}\cdot 1^{37}+{\displaystyle \binom{40}{38}}{\left[x \left(1+x \right)\right]}^{2}\cdot 1^{38}+$</li>
<li>$+{\displaystyle \binom{40}{39}}{\left[x \left(1+x \right)\right]}^{1}\cdot 1^{39}+{\displaystyle \binom{40}{40}}{\left[x \left(1+x \right)\right]}^{0}\cdot 1^{40} $</li>
</ul>
2) Continuando:
<ul>
<li>$\left\{{\displaystyle \binom{40}{0}} \left[x^{40}\cdot {\left(1+x \right)}^{37}\right] + {\displaystyle \binom{40}{1}} \left[x^{39}\cdot {\left(1+x \right)}^{36}\right] +\cdots \right. \Rightarrow$</li>
<li>$\left. \cdots + {\displaystyle \binom{40}{37}} {\left[x^{3}\right]}+780x^2{\left( 1+x \right)}^2+40x\left(1+x\right)+1 \right\}$</li>
</ul>
3) Portanto o resto da divisão de ${\left(1 + x + x^2\right)}^{40}$ por ${\left(1 + x\right)}^3$ é igual ao resto da divisão por $780x^2{\left( 1+x \right)}^2+40x\left(1+x\right)+1$.
4) Temos que:
<ul>
<li>$780x^2{\left( 1+x \right)}^2+40x\left(1+x\right)+1 \Rightarrow$</li>
<li>$780x^2\left( 1+2x+x^2 \right)+40x+40x^2+1 \Rightarrow$</li>
<li>$780x^2+1560x^3+780x^4+40x+40x^2+1 \Rightarrow$</li>
<li>$780x^4+1560x^3+860x^2+1$</li>
</ul>
5) E que:
<ul>
<li>${\left(1 + x\right)}^3 \Rightarrow$</li>
<li>${\left(1 + x\right)}\cdot {\left(1 + x\right)}^2 \Rightarrow$</li>
<li>${\left(1 + x\right)}\cdot {\left(1 + 2x+x^2\right)} \Rightarrow$</li>
<li>$1 + 2x+x^2+x+2x^2+x^3 \Rightarrow$</li>
<li>$x^3+3x^2+3x+1$</li>
</ul>
6) A divisão de $780x^4+1560x^3+860x^2+1$ por $x^3+3x^2+3x+1$ está representada na Figura de Resolução.
7) Logo:
<ul>
<li>${\left( 1+x+x^2 \right)}^{40} = {\left( 1+x \right)}^{3}\left( 780x-780 \right)+820x^2+1600x+781$</li>
</ul>
8) Portanto o termo independente da divisão de ${\left( 1+x+x^2 \right)}^{40}$ por ${\left( 1+x \right)}^{3}$ é igual a $781$.
<img src="http://wp-exercicios-resolvidos.s3.amazonaws.com/wp-content/uploads/2020/08/01202655/figura-imagem-1.png" />

reso

Cálculo do termo independente da divisão entre dois polinômios

Considere as circunferências $$ {\lambda}_1:x^2+y^2-8x+4y=20 $$ e $$ {\lambda}_2:x^2+y^2-2x-8y=8 $$
O triângulo $ABC$ satisfaz as seguintes propriedades:
i) o lado $\overline{AB}$ coincide com a corda comum a ${\lambda}_1$ e ${\lambda}_2$; ii) o vértice $B$ pertence ao primeiro quadrante; iii) o vértice $C$ pertence a ${\lambda}_1$ e a reta que contém $\overline{AC}$ é tangente a ${\lambda}_2$.
Determine as coordenadas do vértice $C$.
Resolução
<hr/>
1) Um esboço da figura descrita pelo enunciado está na figura de Resolução.
2) O centro $C_1$ e o raio $r_1$ da circunferência ${\lambda}_1$ são iguais a:
<ul>
<li>$x^2+y^2-8x+4y=20 \Rightarrow$</li>
<li>$x^2-8x+\left( 16\right)-\left(16 \right)+y^2+4y+\left(4 \right)-\left( 4\right)=20 \Rightarrow$</li>
<li>${\left( x-4 \right)}^2+{\left( y+2 \right)}^2=20+16+4 \Rightarrow$</li>
<li>${\left( x-4 \right)}^2+{\left( y+2 \right)}^2=40$</li>
</ul>
3) Continuando:
<ul>
<li>$C_1=\left(4,-2 \right);r_1=\sqrt{40} \Rightarrow$</li>
<li>$C_1=\left(4,-2 \right);r_1=2\sqrt{10}$</li>
</ul>
4) O centro $C_2$ e o raio $r_2$ da circunferência ${\lambda}_2$ são iguais a:
<ul>
<li>$x^2+y^2-2x-8y=8 \Rightarrow$</li>
<li>$x^2-2x+\left( 1\right)-\left(1 \right)+y^2-8y+\left(16 \right)-\left( 16\right)=8 \Rightarrow$</li>
<li>${\left( x-1 \right)}^2+{\left( y-4 \right)}^2=8+16+1 \Rightarrow$</li>
<li>${\left( x-1 \right)}^2+{\left( y-4 \right)}^2=25$</li>
</ul>
5) Continuando:
<ul>
<li>$C_2=\left(1,4 \right);r_2=\sqrt{25} \Rightarrow$</li>
<li>$C_2=\left(1,4 \right);r_2=5$</li>
</ul>
6) Vamos calcular os pontos $A$ e $B$:
<ul>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} x^2+y^2-8x+4y&#038;=&#038;20\\ x^2+y^2-2x-8y&#038;=&#038;8 \end{array} \right. \Rightarrow$</li>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} -6x+12y&#038;=&#038;12\div \left(-6 \right)\\ x^2+y^2-2x-8y&#038;=&#038;8 \end{array} \right. \Rightarrow$</li>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} x-2y&#038;=&#038;-2\\ x^2+y^2-2x-8y&#038;=&#038;8 \end{array} \right.$</li>
</ul>
7) Assim:
<ul>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} x&#038;=&#038;2y-2\\ x^2+y^2-2x-8y&#038;=&#038;8 \end{array} \right.$</li>
</ul>
8) Portanto:
<ul>
<li>$x^2+y^2-2x-8y=8 \Rightarrow$</li>
<li>${\left(2y-2 \right)}^2+y^2-2{\left( 2y-2\right)}-8y=8 \Rightarrow$</li>
<li>$4y^2-8y+4+y^2-4y+4-8y=8 \Rightarrow$</li>
<li>$5y^2-20y=0$</li>
</ul>
9) Continuando:
<ul>
<li>$5y\cdot \left(y-4 \right)=0 \Rightarrow$</li>
<li>$y=0\text{ ou }y=4$</li>
</ul>
10) Portanto:
<ul>
<li>$y_A=0 \Rightarrow$</li>
<li>$x_A=2\cdot 0 -2 \Rightarrow$</li>
<li>$x_A=-2 \Rightarrow$</li>
<li>$x_A=\left(-2,0 \right)$</li>
</ul>
11) Continuando:
<ul>
<li>$y_B=4 \Rightarrow$</li>
<li>$x_B=2\cdot 4 -2 \Rightarrow$</li>
<li>$x_B=8-2 \Rightarrow$</li>
<li>$x_B=6 \Rightarrow$</li>
<li>$x_B=\left(6,4 \right)$</li>
</ul>
12) Logo a corda comum a ${\lambda}_1$ e ${\lambda}_2$ é o segmento $\overline{AB}$.
13) A reta $r$ que passa por $A$ e é tangente a ${\lambda}_1$, logo ela é perpendicular ao vetor $\overrightarrow{C_1A}$, que é igual a:
<ul>
<li>$\overrightarrow{C_1A}=C_1-A \Rightarrow$</li>
<li>$\overrightarrow{C_1A}={\left(1,4 \right)}-{\left( -2,0 \right)} \Rightarrow$</li>
<li>$\overrightarrow{C_1A}={\left(1+2,4-0 \right)} \Rightarrow$</li>
<li>$\overrightarrow{C_1A}={\left(3,4 \right)}$</li>
</ul>
14) Seja $\overrightarrow{u}=\left(a,b\right)$ o vetor diretor da reta $r$, assim:
<ul>
<li>$\overrightarrow{u}\cdot \overrightarrow{C_1A}=0 \Rightarrow$</li>
<li>${\left(a,b \right)}\cdot{\left(3,4 \right)}=0 \Rightarrow$</li>
<li>$3a+4b=0$</li>
</ul>
15) Podemos tomar $a=4$ e $b=-3$. Assim a reta $r$ é igual a:
<ul>
<li>$\dfrac{y-0}{x-\left(-2\right)}=\dfrac{-3}{4} \Rightarrow$</li>
<li>$\dfrac{y-0}{x+2}=\dfrac{-3}{4} \Rightarrow$</li>
<li>$4y=-3x-6 \Rightarrow$</li>
<li>$y=-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{6}{4}$</li>
</ul>
16) O ponto $C$ é a intersecção entre a reta $r$ e a circunferência $C_1$ (a outra intersecção é o ponto $A$). Assim:
<ul>
<li>$\left\{ \begin{array}{rcr} x^2+y^2-8x+4y&#038;=&#038;20\\ y&#038;=&#038;-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{6}{4} \end{array} \right. \Rightarrow$</li>
<li>$x^2+{\left(-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{6}{4} \right)}^2-8x+\\ +4\left(-\dfrac{3}{4}x-\dfrac{6}{4} \right)=20 \Rightarrow$</li>
<li>$x^2+\dfrac{9}{16}x^2+\dfrac{36}{16}x+\dfrac{36}{16}-8x-3x-6=20$</li>
</ul>
17) Continuando:
<ul>
<li>$\dfrac{25}{16}x^2-\dfrac{380}{16}x-26=0\times 16 \Rightarrow$</li>
<li>$25x^2-140x-380=0\div 5 \Rightarrow$</li>
<li>$5x^2-28x-76=0$</li>
</ul>
18) Assim:
<ul>
<li>$5x^2-28x-76=0 \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{-\left(-28\right)\pm\sqrt{{\left(-28\right)}^2-4\cdot 5 \cdot \left( -76 \right)}}{2\cdot 5} \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{28\pm\sqrt{784+1520}}{10} \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{28\pm \sqrt{2304}}{10}$</li>
</ul>
19) Continuando:
<ul>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{28\pm 48}{10} \Rightarrow$</li>
<li>$x_1=\dfrac{76}{10},x_2=\dfrac{-40}{10} \Rightarrow$</li>
<li>$x_1=\dfrac{38}{5},x_2=-4\text{ este sera o ponto }A.$</li>
</ul>
20) Logo:
<ul>
<li>$y_1=-\dfrac{3}{4}\cdot \dfrac{38}{5}-\dfrac{6}{4} \Rightarrow$</li>
<li>$y_1=-\dfrac{114}{20}-\dfrac{30}{20} \Rightarrow$</li>
<li>$y_1=-\dfrac{36}{5}$</li>
</ul>
21) Assim:
<ul>
<li>$C=\left(\dfrac{38}{5} ,-\dfrac{36}{5}\right)$</li>
</ul>
Ilustrando: <img src="http://wp-exercicios-resolvidos.s3.amazonaws.com/wp-content/uploads/2020/08/01202655/figura-imagem-1.png" />

Cálculo das coordenadas de um ponto que pertence a duas circunferências

Sejam $a$, $b$, $c$ números reais com $a \neq 0$.
a)	Mostre que a mudança $x + \dfrac{1}{x}=z$ transforma a equação a seguir $ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$ numa equação de segundo grau.
b)	Determine todas as raízes da equação $x^4 + 3x^3 -2x^2 + 3x + 1 = 0$.
Resolução
<hr/>
1) a) A equação a ser resolvida é:
<ul>
<li>$ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0$</li>
</ul>
2) Observe que $x=0$ não é raiz da equação anterior, pois:
<ul>
<li>$ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0 \Leftrightarrow$</li>
<li>$a\cdot 0^4+b\cdot 0^3+c\cdot 0^2 +b\cdot 0+a=0 \Leftrightarrow$</li>
<li>$a=0\text{ Errado}.$</li>
</ul>
3) Portanto:
<ul>
<li>$z=x + \dfrac{1}{x} \Leftrightarrow$</li>
<li>$z^2=x^2+2+\dfrac{1}{x^2} \Leftrightarrow$</li>
<li>$z^2-2=x^2+\dfrac{1}{x^2}$</li>
</ul>
4) Vamos dividir a equação anterior por $x^2$:
<ul>
<li>$ax^4 + bx^3 + cx^2 + bx + a = 0\div x^2 \Leftrightarrow$</li>
<li>$ax^2+bx+c+\dfrac{b}{x}+\dfrac{a}{x^2}=0 \Leftrightarrow$</li>
<li>$a\left(x^2+\dfrac{1}{x^2} \right)+b\left(x + \dfrac{1}{x} \right)+c=0 \Leftrightarrow$</li>
<li>$a\left(z^2-2 \right)+b\left(z \right)+c=0 \Leftrightarrow$</li>
<li>$az^2+bz+\left(c-2a\right)=0$</li>
</ul>
5) A equação anterior é uma equação do segundo grau.
6) b) Fazendo $x + \frac{1}{x}=z$, conforme o item a), a equação $x^4 + 3x^3 -2x^2 + 3x + 1 = 0$ fica:
<ul>
<li>$az^2+bz+\left(c-2a\right)=0 \Leftrightarrow$</li>
<li>$1z^2+3z+\left(-2-2\cdot 1\right)=0 \Leftrightarrow$</li>
<li>$z^2+3z-4=0$</li>
</ul>
7) Logo: 
<ul>
<li>$z^2+3z-4=0 \Rightarrow$</li>
<li>$z_{1,2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{3^2-4\cdot 1 \cdot \left( -4 \right)}}{2\cdot 1} \Rightarrow$</li>
<li>$z_{1,2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{9+16}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$z_{1,2}=\dfrac{-3\pm\sqrt{25}}{2}$</li>
</ul>
8) Continuando:
<ul>
<li>$z_{1,2}=\dfrac{-3\pm 5}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$z_1=\dfrac{-3- 5}{2},z_2=\dfrac{-3+5}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$z_1=\dfrac{-8}{2},z_2=\dfrac{2}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$z_1=-4,z_2=1$</li>
</ul>
9) Substituindo $z=x+\frac{1}{x}$, temos que:
<ul>
<li>$z_1=-4 \Rightarrow$</li>
<li>$x+\dfrac{1}{x}=-4\times x \Rightarrow$</li>
<li>$x^2+1=-4x \Rightarrow$</li>
<li>$x^2+4x+1=0 \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{4^2-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot 1}$</li>
</ul>
10) Continuando:
<ul>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{16-4}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{-4\pm\sqrt{12}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{-4\pm 2\sqrt{3}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$x_1=-2+\sqrt{3},x_2=-2-\sqrt{3}$</li>
</ul>
11) E que:
<ul>
<li>$z_1=1 \Rightarrow$</li>
<li>$x+\dfrac{1}{x}=1\times x \Rightarrow$</li>
<li>$x^2+1=x \Rightarrow$</li>
<li>$x^2-x+1=0 \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{-\left(-1\right)\pm\sqrt{{\left(-1\right)}^2-4\cdot 1 \cdot 1}}{2\cdot 1}$</li>
</ul>
12) Continuando:
<ul>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{1-4}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{1\pm\sqrt{-3}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{1\pm \sqrt{3}i}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$x_1=\dfrac{1- \sqrt{3}i}{2},x_2=\dfrac{1+ \sqrt{3}i}{2}$</li>
</ul>

Cálculo de raízes de uma equação polinomial

Sejam $S$ um subconjunto de ${\mathbb{R}}^2$ e $P = \left(a, b\right)$ um ponto de ${\mathbb{R}}^2$. Define-se distância de $P$ a $S$, $d\left(P, S\right)$, como a menor das distâncias $d\left(P,Q\right)$, com $Q \in S$: 
$$d\left(P, S\right) = min\left\{\left(P,Q\right) : Q \in S\right\}$$
Sejam $S_1=\left\{\left(x,y\right)\in{\mathbb{R}}^2 : x=0\text{ e } y\geq 2\right\}$ e $S_2=\left\{\left(x,y\right)\in{\mathbb{R}}^2 : y=0\right\}$.
i)	Determine $d\left(P, S_1\right)$ quando $P = \left(1, 4\right)$ e $d\left(Q, S_1\right)$ quando $Q = \left(-3, 0\right)$.
ii)	Determine o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de $S_1$ e de $S_2$.
Resolução
<hr/>
1) Um esboço do problema está na Figura de Resolução 1. 
<img src="http://wp-exercicios-resolvidos.s3.amazonaws.com/wp-content/uploads/2020/08/01202655/figura-imagem-1.png" />

2) a) Temos que:
<ul>
<li>$d\left(P, S_1\right)=d\left(P, T\right) \Rightarrow$</li>
<li>$d\left(P, S_1\right)=1$</li>
</ul>
3) E que:
<ul>
<li>$d\left(Q, S_1\right)=\overline{AQ} \Rightarrow$</li>
<li>$d\left(Q, S_1\right)=d\left(Q, A\right) \Rightarrow$</li>
<li>$d\left(Q, S_1\right)=\sqrt{{\left(y_A-y_Q \right)}^2+{\left(x_A-x_Q \right)}^2} \Rightarrow$</li>
<li>$d\left(Q, S_1\right)=\sqrt{{\left(2-0 \right)}^2+{\left[0-\left( -3 \right) \right]}^2}$</li>
</ul>
4) Continuando:
<ul>
<li>$d\left(Q, S_1\right)=\sqrt{{\left(2 \right)}^2+{\left[3 \right]}^2} \Rightarrow$</li>
<li>$d\left(Q, S_1\right)=\sqrt{4+9} \Rightarrow$</li>
<li>$d\left(Q, S_1\right)=\sqrt{13}$</li>
</ul>
5) Vamos chamar de $S$ o conjuntos dos pontos do plano que equidistam de $S_1$ e $S_2$.
6) Conforme a Figura de Resolução 1, os pontos que equidistam de $S_1$ e $S_2$ podem ter a mesma distância do ponto $A$ ao conjunto $S_2$ (a reta $y=0$), que são: 
<ul>
<li>${\left( x-x_A \right)}^2+{\left( y-y_A \right)}^2=y^2 \Rightarrow$</li>
<li>${\left( x-0 \right)}^2+{\left( y-2 \right)}^2=y^2 \Rightarrow$</li>
<li>${\left( x-0 \right)}^2+{\left( y-2 \right)}^2=y^2 \Rightarrow$</li>
<li>$x^2+y^2-4y+4=y^2$</li>
</ul>
7) Continuando:
<ul>
<li>$x^2-4y+4=0 \Rightarrow$</li>
<li>$-4y=-x^2-4 \Rightarrow$</li>
<li>$y=\dfrac{x^2}{4}+1$</li>
</ul>
8) Observe que a equação anterior só é válida para $-2\leq x \leq 2$, pois se $x\geq 2$, então os pontos que equidistam de $S_1$ e $S_2$ são os da reta $y=x$ e se $x\leq -2$, são os pontos da reta $y=-x$.
9) Um esboço dos pontos que equidistam de $S_1$ e $S_2$ está na Figura de Resolução 2. 
<img src="http://wp-exercicios-resolvidos.s3.amazonaws.com/wp-content/uploads/2020/08/01202655/figura-imagem-2.png" />

10) Assim:
<ul>
<li>$S= \left\{ \begin{array}{ll} y=-x,&#038; \text{ se }x\leq -2\\ y=\dfrac{x^2}{4}+1,&#038; \text{ se }-2\leq x\leq 2\\ y=x,&#038; \text{ se }x\geq 2 \end{array} \right.$</li>
</ul>

Figura de Resolução 1

Figura de Resolução 2

Cálculo de distâncias e dos pontos que equidistam de dois conjuntos num plano cartesiano

Numa certa brincadeira, um menino dispõe de uma caixa contendo quatro bolas, cada qual marcada com apenas uma destas letras: $N$, $S$, $L$ e $O$. Ao retirar aleatoriamente uma bola, ele vê a letra correspondente e devolve a bola à caixa. Se essa letra for $N$, ele dá um passo na direção Norte; se $S$, em direção Sul, se $L$, na direção Leste e se $O$, na direção Oeste.
Qual a probabilidade de ele voltar para a posição inicial no sexto passo?
Resolução
<hr/>
1) Para que o menino volte para a posição inicial, ele deve dar o mesmo número de passos numa direção e na direção oposta.
2) Como ele dá $6$ passos, ele pode dar $3$ passos numa direção (e $3$ na direção oposta) ou dar $2$ passos numa direção (e $2$ na direção oposta) e $1$ passo na direção (diferente da anterior e $1$ na direção oposta).
3) Assim, para voltar para a mesma posição, os passos dados podem ser:
<ul>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} 3N, 3S&#038;;&#038;3O,3L \\ 2N,2S,1O,1L &#038;;&#038; 2O,2L,1N,1S \end{array} \right.$</li>
</ul>
4) Vamos calcular a quantidade de casos em cada uma das alternativas. A chance de retirar cada uma das bolas é $\frac{1}{4}$.
5) $3N, 3S:$
<ul>
<li>${\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot P_{6}^{3,3} \Rightarrow$</li>
<li>${\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot \dfrac{6!}{3!\cdot 3!} \Rightarrow$</li>
<li>${\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot \dfrac{6\cdot 5\cdot 4 \cdot 3!}{3\cdot 2 \cdot 1\cdot 3!} \Rightarrow$</li>
<li>${\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot \dfrac{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot \cancel{3!}}{3\cdot 2 \cdot 1\cdot \cancel{3!}} \Rightarrow$</li>
<li>${\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot 20$</li>
</ul>
Isto é, a probabilidade de se retirar cada uma as $6$ bolas e a permutação das $6$ bolas com repetição de $3$ e $3$ delas.
6) $3O, 3L:$ Análogo ao caso anterior.
<ul>
<li>${\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot 20$</li>
</ul>
7) $2N,2S,1O,1L:$ 
<ul>
<li>${\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot P_{6}^{2,2} \Rightarrow$</li>
<li>${\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot \dfrac{6!}{2!\cdot 2!} \Rightarrow$</li>
<li>${\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot \dfrac{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot 2!}{3\cdot 2 \cdot 1\cdot 3\cdot 2!} \Rightarrow$</li>
<li>${\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot \dfrac{6\cdot 5 \cdot 4 \cdot 3 \cdot \cancel{2!}}{3\cdot 2 \cdot 1\cdot 3\cdot \cancel{2!}} \Rightarrow$</li>
<li>${\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot 180$</li>
</ul>
Isto é, a probabilidade de se retirar cada uma as $6$ bolas e a permutação das $6$ bolas com repetição de $2$ e $2$ delas.
8) $2O,2L,1N,1S:$ Análogo ao caso anterior.
<ul>
<li>${\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot 180$</li>
</ul>
9) Assim a probabilidade, $p$ de o menino voltar à sua posição inicial é igual a:
<ul>
<li>$P={\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot 20+{\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot 20+{\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot 180+{\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot 180 \Rightarrow$</li>
<li>$P= {\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot \left( 20+20+180+180 \right) \Rightarrow$</li>
<li>$P= {\left(\dfrac{1}{4}\right)}^6\cdot \left( 400\right) \Rightarrow$</li>
<li>$P= \dfrac{400}{4096} \Rightarrow$</li>
<li>$P= \dfrac{25}{256}$</li>
</ul>

Cálculo da probabilidade de um menino voltar à sua posição inicial no sexto passo

Seja $A$ a matriz de ordem $3 \times 2$, dada pela equação a seguir. $$ \begin{bmatrix} 1 &#038; 0 \\ 0 &#038; 1 \\ 1 &#038; 1 \end{bmatrix} $$
a) Determine todas as matrizes $B$ tais que $BA = I_2$. b) Existe uma matriz $B$ com $BA = I_2$ que satisfaça $BB^T = I_2$? Se sim, dê um exemplo de uma dessas matrizes.
Resolução
<hr/>
1) a) Para que $BA= I_2$, $B$ deve ser uma matriz de ordem $2\times 3$. 
2) Logo $B$ é da forma:
<ul>
<li>$\begin{bmatrix} a &#038; b &#038; c \\ d &#038; e &#038; f \end{bmatrix}$</li>
</ul>
3) Assim:
<ul>
<li>$\begin{bmatrix} a &#038; b &#038; c \\ d &#038; e &#038; f \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1 &#038; 0 \\ 0 &#038; 1 \\ 1 &#038; 1 \end{bmatrix} \Rightarrow$</li>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} a+c&#038;=&#038;1\\ b+c&#038;=&#038; 0\\ d+f &#038;=&#038; 0\\ e+f&#038;=&#038; 1 \end{array} \right. \Rightarrow$</li>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} a&#038;=&#038;1-c\\ b&#038;=&#038; -c\\ d &#038;=&#038; -f\\ e&#038;=&#038; 1-f \end{array} \right.$</li>
</ul>
4) Assim $B$ é da forma:
<ul>
<li>$\begin{bmatrix} 1-c &#038; -c &#038; c \\ -f &#038; 1-f &#038; f \end{bmatrix}$</li>
</ul>
Onde $c, f \in \mathbb{R}$.
5) b) 
<ul>
<li>$BB^T \Rightarrow$</li>
<li>$\begin{bmatrix} 1-c &#038; -c &#038; c \\ -f &#038; 1-f &#038; f \end{bmatrix} \cdot \begin{bmatrix} 1-c &#038; -f\\ -c &#038; 1-f\\ c &#038; f \end{bmatrix} \Rightarrow$</li>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} {\left(1-c\right)}^2+{\left(-c\right)}^2+c^2 &#038;= &#038; 1\\ {\left(1-c\right)}{\left(-f\right)}+{\left(-c\right)}{\left(1-f\right)}+cf &#038;= &#038; 0\\ {\left(-f\right)}{\left(1-c\right)}+{\left(1-f\right)}{\left(-c\right)}+cf &#038;= &#038; 0\\ {\left(-f\right)}^2+{\left(1-f\right)}^2+f^2 &#038;= &#038; 1 \end{array} \right. $</li>
</ul>
6) Assim:
<ul>
<li>${\left(1-c\right)}^2+{\left(-c\right)}^2+c^2 = 1 \Rightarrow$</li>
<li>$1-2c+c^2+c^2+c^2=1 \Rightarrow$</li>
<li>$3c^2-2c=0 \Rightarrow$</li>
<li>$c\left(3c-c \right)=0$</li>
</ul>
7) Continuando:
<ul>
<li>$c=0\text{ ou }3c-2=0 \Rightarrow$</li>
<li>$c=0\text{ ou }c=\dfrac{2}{3}$</li>
</ul>
8) Se $c=0$, então:
<ul>
<li>${\left(1-c\right)}{\left(-f\right)}+{\left(-c\right)}{\left(1-f\right)}+cf = 0 \Rightarrow$</li>
<li>${\left(1-0\right)}{\left(-f\right)}+{\left(-0\right)}{\left(1-f\right)}+0f = 0 \Rightarrow$</li>
<li>${\left(1\right)}{\left(-f\right)}+0+0 = 0 \Rightarrow$</li>
<li>$f=0$</li>
</ul>
9) Assim um exemplo de matriz $B$ tal que $BB^T=I_2$ é:
<ul>
<li>$B= \begin{bmatrix} 1 &#038; 0 &#038; 0 \\ 0 &#038; 1 &#038; 0 \end{bmatrix}$</li>
</ul>

Cálculo de matrizes que satisfazem a algumas equações

Um hexágono convexo regular $H$ e um triângulo equilátero $T$ estão inscritos em circunferências de raios $R_H$ e $R_T$ , respectivamente. Sabendo-se que $H$ e $T$ têm mesma área, determine a razão $\dfrac{R_H}{R_T}$.
Resolução
<hr/>
1) Um esboço do hexágono $H$ está na Figura de Resolução &#8211; Hexágono e do triângulo $T$ está na Figura de Resolução &#8211; Triângulo.
2) A área de $H$, $S_H$, é igual á soma das áreas de $6$ triângulos de lados iguais a $R_H$. Assim:
<ul>
<li>$S_H = 6\cdot \dfrac{R_H\cdot \frac{\sqrt{3}{R_H}}{2}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$S_H = 6\cdot \dfrac{\sqrt{3}{R_{H}^{2}}}{4} \Rightarrow$</li>
<li>$S_H = \dfrac{3\sqrt{3}{R_{H}^{2}}}{2}$</li>
</ul>
3) Conforme a Figura de Resolução &#8211; Triângulo, $O$ é o baricentro do triângulo $\triangle ABC$, logo $OH=\frac{R_T}{2}$, logo a altura $AH$ do triângulo é igual a:
<ul>
<li>$AH = R_T+\dfrac{R_T}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$AH = \dfrac{3R_T}{2}$</li>
</ul>
4) Logo a medida do lado $BC$ do triângulo $\triangle ABC$ da Figura de Resolução &#8211; Triângulo é igual a:
<ul>
<li>$sen{\left( \widehat{B} \right)}=\dfrac{AH}{BC} \Rightarrow$</li>
<li>$sen{\left( 60^{\circ} \right)}=\dfrac{\frac{3R_T}{2}}{BC} \Rightarrow$</li>
<li>$sen\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{\frac{3R_T}{2}}{BC} \Rightarrow$</li>
<li>$\dfrac{\sqrt{3}}{2}=\dfrac{3R_T}{2BC}$</li>
</ul>
5) Continuando:
<ul>
<li>$ \sqrt{3}=\dfrac{3R_T}{BC} \Rightarrow$</li>
<li>$BC=\dfrac{3R_T}{\sqrt{3}}\cdot \dfrac{\sqrt{3}}{\sqrt{3}} \Rightarrow$</li>
<li>$BC=\dfrac{3\sqrt{3}R_T}{3} \Rightarrow$</li>
<li>$BC=\sqrt{3}R_T$</li>
</ul>
6) A área do triângulo $T$, $S_T$, é igual a:
<ul>
<li>$S_T = \dfrac{AB \cdot AH}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$S_T = \dfrac{\sqrt{3}R_T \cdot \frac{3R_T}{2}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$S_T = \dfrac{3\sqrt{3}{R_{T}^{2}}}{4}$</li>
</ul>
7) Assim $\frac{R_T}{R_H}$ é igual a:
<ul>
<li>$\dfrac {\dfrac{3\sqrt{3}{R_{H}^{2}}}{2}} {\dfrac{3\sqrt{3}{R_{T}^{2}}}{4}} = \dfrac{S_T}{S_H}\Rightarrow$</li>
<li>$\dfrac {\dfrac{\cancel{3\sqrt{3}}R_{H}^{2}}{2}} {\dfrac{\cancel{3\sqrt{3}}R_{T}^{2}}{4}} =1 \Rightarrow$</li>
<li>$\dfrac {\dfrac{R_{H}^{2}}{2}} {\dfrac{R_{T}^{2}}{4}} =1 \Rightarrow$</li>
<li>${\left(\dfrac{R_H}{R_T}\right)}^2\cdot \dfrac{4}{2}=1$</li>
</ul>
8) Continuando:
<ul>
<li>${\left(\dfrac{R_H}{R_T}\right)}^2=\dfrac{1}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$\dfrac{R_H}{R_T}=\sqrt{\dfrac{2}{4}} \Rightarrow$</li>
<li>$\dfrac{R_H}{R_T}=\dfrac{\sqrt{2}}{2}$</li>
</ul>

Figura de Resolução &#8211; Hexágono

Figura de Resolução &#8211; Triângulo

Cálculo da relação entre os raios de duas circunferências cujos polígonos regulares inscritos têm a mesma área

Sejam x e y pertencentes ao intervalo $\left[0, \pi\right]$. Determine todos os pares ordenados $\left(x,y\right)$ tais que: $$\left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt{2}cos\left( x\right)-sen\left( y\right) &#038;=&#038; \dfrac{1}{2}\\ \sqrt{2}sen\left( x\right)+\sqrt{3}cos\left( y\right) &#038;=&#038; -\dfrac{1}{2} \end{array} \right. $$
Resolução
<hr/>
1) Vamos resolver o sistema a seguir.
<ul>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt{2}cos\left( x\right)-sen\left( y\right) &#038;=&#038; \dfrac{1}{2}\\ \sqrt{2}sen\left( x\right)+\sqrt{3}cos\left( y\right) &#038;=&#038; -\dfrac{1}{2} \end{array} \right.$</li>
</ul>
2) Logo:
<ul>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt{2}cos\left( x\right) &#038;=&#038; \dfrac{1}{2}+sen\left( y\right)\\ \sqrt{2}sen\left( x\right) &#038;=&#038; -\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}cos\left( y\right) \end{array} \right. \Rightarrow$</li>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} {\left[\sqrt{2}cos\left( x\right)\right]}^2 &#038;=&#038;{\left[ \dfrac{1}{2}+sen\left( y\right)\right]}^2\\ {\left[\sqrt{2}sen\left( x\right) \right]}^2&#038;=&#038;{\left[ -\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}cos\left( y\right)\right]}^2 \end{array} \right.$</li>
</ul>
3) Continuando:
<ul>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} 2cos^2\left( x\right) &#038;=&#038;\dfrac{1}{4}+sen\left( y\right)+sen^2\left( y\right)\\ 2sen^2\left( x\right)&#038;=&#038;\dfrac{1}{4}+\sqrt{3}cos\left( y\right)+3cos^2\left( y\right) \end{array} \right.$</li>
</ul>
4) Somando as duas últimas equações, temos que:
<ul>
<li>$2cos^2\left( x\right)+2sen^2\left( x\right)\Rightarrow$</li>
<li>$2\cdot 1=\left[\dfrac{1}{4}+sen\left( y\right)+sen^2\left( y\right)\right] +\left[ \dfrac{1}{4}+\sqrt{3}cos\left( y\right)+3cos^2\left( y\right) \right] \Rightarrow$</li>
<li>$2\cdot 1=\dfrac{1}{2}+sen\left( y\right)+\left[ 1-cos^2\left( y\right) \right] +\sqrt{3}cos\left( y\right)+3cos^2\left( y\right) \Rightarrow$</li>
</ul>
5) Continuando:
<ul>
<li>$2=\dfrac{3}{2}+sen\left( y\right)+\sqrt{3}cos\left( y\right)+2cos^2\left( y\right) \Rightarrow$</li>
<li>$2-\dfrac{3}{2}-\sqrt{3}cos\left( y\right)-2cos^2\left( y\right)=sen\left( y\right) \Rightarrow$</li>
<li>$\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}cos\left( y\right)-2cos^2\left( y\right)=sen\left( y\right)$</li>
</ul>
6) Elevando-se ao quadrado os dois lados da última equação, temos que:
<ul>
<li>${\left[\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}cos\left( y\right)-2cos^2\left( y\right)\right]}^2={\left[sen\left( y\right)\right]}^2 \Rightarrow$</li>
<li>$\dfrac{1}{4}-\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos\left( y\right)-cos^2\left( y\right)-$</li>
<li>$-\dfrac{\sqrt{3}}{2}cos\left( y\right)+3cos^2\left( y\right)+2\sqrt{3}cos^3\left( y\right)-$</li>
<li>$-cos^2\left( y\right)+2\sqrt{3}cos^3\left( y\right)+4cos^4\left( y\right)=sen^2\left( y\right)$</li>
</ul>
7) Continuando:
<ul>
<li>$\dfrac{1}{4}-\sqrt{3} cos\left( y\right)+cos^2\left( y\right)+$</li>
<li>$+4\sqrt{3} cos^3\left( y\right)+4cos^4\left( y\right)=1-cos^2\left( y\right) \Rightarrow$</li>
<li>$-\dfrac{3}{4}-\sqrt{3} cos\left( y\right)+2cos^2\left( y\right) +4\sqrt{3} cos^3\left( y\right)+4cos^4\left( y\right)=0$</li>
</ul>
8) Fazendo $t=cos\left( y\right)$, a última equação fica igual a:
<ul>
<li>$-\dfrac{3}{4}-\sqrt{3} t+2t^2+4\sqrt{3} t^3+4t^4=0 \Rightarrow$</li>
<li>$4t^4+4\sqrt{3} t^3+2t^2-\sqrt{3} t-\dfrac{3}{4}=0\times 4 \Rightarrow$</li>
<li>$16t^4+16\sqrt{3} t^3+8t^2-4\sqrt{3} t-3=0$</li>
</ul>
9) $t=\dfrac{1}{2}$ é raiz da última equação, pois:
<ul>
<li>$16\cdot{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^4+16\sqrt{3} \cdot{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^3+8\cdot{\left( \dfrac{1}{2} \right)}^2-$</li>
<li>$-4\sqrt{3}\cdot {\left( \dfrac{1}{2} \right)}-3=0 \Rightarrow$</li>
<li>$16\cdot \dfrac{1}{16}+16\sqrt{3}\cdot \dfrac{1}{8} +8\cdot \dfrac{1}{4}-$</li>
<li>$-4\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} -3=0 \Rightarrow$</li>
<li>$1+2\sqrt{3}+2-2\sqrt{3}-3=0 \Rightarrow$</li>
<li>$0=0$</li>
</ul>
10) $t=-\dfrac{1}{2}$ também é raiz da equação, pois:
<ul>
<li>$16\cdot{\left(- \dfrac{1}{2} \right)}^4+16\cdot\sqrt{3} {\left(- \dfrac{1}{2} \right)}^3+8\cdot{\left( -\dfrac{1}{2} \right)}^2-$</li>
<li>$-4\sqrt{3}\cdot {\left(- \dfrac{1}{2} \right)}-3=0 \Rightarrow$</li>
<li>$16\cdot \dfrac{1}{16}-16\sqrt{3}\cdot \dfrac{1}{8} +8\cdot \dfrac{1}{4} +$</li>
<li>$+4\sqrt{3} \cdot \dfrac{1}{2} -3=0 \Rightarrow$</li>
<li>$1-2\sqrt{3}+2+2\sqrt{3}-3=0 \Rightarrow$</li>
<li>$0=0$</li>
</ul>
11) Logo o polinômio é divisível por $D\left( t \right)=\left[ t-\frac{1}{2} \right]\cdot \left[ t-\left(-\frac{1}{2}\right) \right]=t^2-\frac{1}{4}$. A divisão está na Figura de Resolução.
12) Vamos calcular as raízes de $Q\left( t \right)=16t^2+16\sqrt{3}t+12$.
<ul>
<li>$16t^2+16\sqrt{3}t+12=0 \Rightarrow$</li>
<li>$t_{1,2}=\dfrac{-16\sqrt{3}\pm\sqrt{{\left( 16\sqrt{3} \right)}^2-4\cdot 16 \cdot 12}}{2\cdot 16} \Rightarrow$</li>
<li>$t_{1,2}=\dfrac{-16\sqrt{3}\pm\sqrt{16^2\cdot 3-4\cdot 16 \cdot 4\cdot 3}}{32} \Rightarrow$</li>
<li>$t_{1,2}=\dfrac{-16\sqrt{3}\pm\sqrt{16^2\cdot 3-16\cdot 16 \cdot 3}}{32}$</li>
</ul>
13) Continuando:
<ul>
<li>$t_{1,2}=\dfrac{-16\sqrt{3}\pm\sqrt{16^2\cdot 3-16^2 \cdot 3}}{32} \Rightarrow$</li>
<li>$t_{1,2}=\dfrac{-16\sqrt{3}\pm\sqrt{0}}{32} \Rightarrow$</li>
<li>$t_{1,2}=-\dfrac{\sqrt{3}}{2}$</li>
</ul>
14) Assim os possíveis valores para $cos\left( y\right)$ são:
<ul>
<li>$\left\{ \begin{array}{cc} cos\left( y\right)=\dfrac{1}{2}&#038; cos\left( y\right)=-\dfrac{1}{2}\\ cos\left( y\right)=-\dfrac{\sqrt{3}}{2} &#038; \end{array} \right.$</li>
</ul>
15) Observe que $x,y\in\left[0,\pi \right]$, logo $0\leq sen\left(\theta\right)\leq 1$ e $-1\leq cos\left(\theta\right)\leq 1$, onde $\theta=x,y$.
16) Se $cos\left(y\right)=\frac{1}{2}\left(y=\frac{\pi}{3} \right)$, temos que:
<ul>
<li>$\sqrt{2}sen\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}cos\left(y\right) \Rightarrow$</li>
<li>$\sqrt{2}sen\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}\cdot \dfrac{1}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$\sqrt{2}sen\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}-\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$\sqrt{2}sen\left(x\right)=\dfrac{-1-\sqrt{3}}{2}\times \sqrt{2}$</li>
</ul>
17) Continuando:
<ul>
<li>$2sen\left(x\right)=\dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$sen\left(x\right)=\dfrac{-\sqrt{2}-\sqrt{6}}{4}<0$</li>
</ul>
$cos\left(y\right)=\frac{1}{2}$ não é solução.
18) Se $cos\left(y\right)=-\frac{1}{2}\left(y=\frac{2\pi}{3} \right)$ , temos que:
<ul>
<li>$\sqrt{2}sen\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}cos\left(y\right) \Rightarrow$</li>
<li>$\sqrt{2}sen\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}\cdot\left(- \dfrac{1}{2}\right) \Rightarrow$</li>
<li>$\sqrt{2}sen\left(x\right)=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{3}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$\sqrt{2}sen\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{3}-1}{2}\times\sqrt{2}$</li>
</ul>
19) Continuando:
<ul>
<li>$2sen\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$sen\left(x\right)=\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}, \left( x=\dfrac{\pi}{12},\text{ ou }x=\dfrac{11\pi}{12} \right)$</li>
</ul>
20) Se $cos\left(y\right)=\frac{1}{2}$, então $sen\left(y\right)=\sqrt{\frac{1}{2}}\Rightarrow sen\left(y\right)=\frac{\sqrt{2}}{2}$.
21) Se $sen\left(x\right)=\frac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}$:
<ul>
<li>$cos\left(x\right)=\pm\sqrt{\dfrac{\sqrt{6}-\sqrt{2}}{4}} \Rightarrow$</li>
<li>$cos\left(x\right)=\pm\dfrac{\sqrt{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}$</li>
</ul>
22) Assim:
<ul>
<li>$\left( x,y \right)=\left( \dfrac{\pi}{12},\dfrac{2\pi}{3} \right) \Rightarrow$</li>
<li>$\sqrt{2}cos\left(x\right)=\dfrac{1}{2}+sen\left(y\right) \Rightarrow$</li>
<li>$\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}\right)=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$\dfrac{\sqrt{\sqrt{12}-2}}{2}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\text{ Errado.}$</li>
</ul>
Logo $\left( x,y \right)=\left( \frac{\pi}{12},\frac{2\pi}{3} \right)$ não é solução.
23) Continuando:
<ul>
<li>$\left( x,y \right)=\left( \dfrac{11\pi}{12},\dfrac{2\pi}{3} \right) \Rightarrow$</li>
<li>$\sqrt{2}cos\left(x\right)=\dfrac{1}{2}+sen\left(y\right) \Rightarrow$</li>
<li>$\sqrt{2}\dfrac{\sqrt{\sqrt{6}-\sqrt{2}}}{2}=\dfrac{1}{2}+\dfrac{\sqrt{2}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$\dfrac{\sqrt{\sqrt{12}-2}}{2}=\dfrac{2+\sqrt{2}}{2}\text{ Errado.}$</li>
</ul>
24) Se $cos\left(y\right)=-\frac{\sqrt{3}}{2}\left(y=\frac{5\pi}{6}\right)$, então $sen\left(y\right)=\frac{1}{2}$. Assim:
<ul>
<li>$\sqrt{2}sen\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}cos\left( y \right) \Rightarrow$</li>
<li>$\sqrt{2}sen\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}\left( -\dfrac{\sqrt{3}}{2} \right) \Rightarrow$</li>
<li>$\sqrt{2}sen\left( x \right)=-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$\sqrt{2}sen\left( x \right)=1 \times \sqrt{2}$</li>
</ul>
25) Continuando:
<ul>
<li>$2sen\left( x \right)= \sqrt{2} \Rightarrow$</li>
<li>$sen\left( x \right)=\dfrac{\sqrt{2}}{2},\left( x=\dfrac{\pi}{4},\text{ ou }x=\dfrac{5\pi}{4} \right)$</li>
</ul>
26) Assim:
<ul>
<li>$\left( x,y \right)=\left( \dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{6} \right) \Rightarrow$</li>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt{2}cos\left(x\right)&#038;=&#038;\dfrac{1}{2}+sen\left(y\right)\\ \sqrt{2}sen\left( x \right)&#038;=&#038;-\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}cos\left( y \right) \end{array} \right. \Rightarrow$</li>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt{2}cos\left(x\right)&#038;=&#038;\dfrac{1}{2}+\dfrac{1}{2}\\ \sqrt{2}sen\left( x \right)&#038;=&#038;-\dfrac{1}{2}-\sqrt{3}\left(-\dfrac{\sqrt{3}}{2}\right) \end{array} \right. \Rightarrow$</li>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt{2}cos\left(x\right)&#038;=&#038;1\\ \sqrt{2}sen\left( x \right)&#038;=&#038;-\dfrac{1}{2}+\dfrac{3}{2} \end{array} \right.$</li>
</ul>
27) Continuando:
<ul>
<li>$\left\{ \begin{array}{lcl} \sqrt{2}cos\left(x\right)&#038;=&#038;1\\ \sqrt{2}sen\left( x \right)&#038;=&#038;1 \end{array} \right.$</li>
</ul>
Logo $\left( x,y \right)=\left( \frac{\pi}{4},\frac{5\pi}{6} \right)$ é solução.
28) As soluções $\left(x,y\right)$ são:
<ul>
<li>$\left(\dfrac{\pi}{12},\dfrac{2\pi}{3} \right);\left(\dfrac{\pi}{4},\dfrac{5\pi}{6} \right)$</li>
</ul>

Resolução de um sistema de equações trigonométricas

Seja $f$ a função definida por $f\left(x\right) = log_{\left(x+1\right)}{\left(x^2 -2x &#8211; 8\right)}$. Determine:
a) O domínio $D_f$ da função $f$. b) O conjunto de todos os valores de $x \in D_f$ tais que $f\left(x\right) = 2$. c) O conjunto de todos os valores de $x \in D_f$ tais que $f\left(x\right)> 1$.
Resolução
<hr/>
1) a) Para encontrar $D_f$, observe que:
<ul>
<li>$\left\{ \begin{array}{l} x^2 -2x &#8211; 8>0\\ x+1>0 \end{array} \right.$</li>
</ul>
2) Assim:
<ul>
<li>$x+1>0\Rightarrow$</li>
<li>$x>-1$</li>
</ul>
3) Em $g\left(x\right)=x^2 -2x &#8211; 8$, $a=1>0$, logo a concavidade de $g$ é voltada para cima. 
4) Vamos calcular o valor de $\Delta$.
<ul>
<li>$\Delta = {\left(-2 \right)}^2-4\cdot {\left(1 \right)}\cdot {\left(-8 \right)} \Rightarrow$</li>
<li>$\Delta = 4+32 \Rightarrow$</li>
<li>$\Delta = 36$</li>
</ul>
5) Como $\Delta=36>0$, $g$ possui $2$ raízes rais distintas iguais a:
<ul>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{-{\left(-2 \right)}\pm\sqrt{\Delta}}{2\cdot 1} \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{2\pm\sqrt{36}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{2\pm 6}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1,2}={1\pm 3} \Rightarrow$</li>
<li>$x_1=-2,x_2=4$</li>
</ul>
6) Um esboço de $g$ está na Figura de Resolução.
7) Assim $D_f$ é igual a: 
<ul>
<li>$D_f = \left\{x\in\mathbb{R}|x>-1 \right\}\cap\left\{ x>4\text{ ou }x<-2\right\} \Rightarrow$</li>
<li>$D_f = \left\{x\in\mathbb{R}| x>4\right\}$</li>
</ul>
8) b) Temos que:
<ul>
<li>$f\left(x\right) =2 \Leftrightarrow$</li>
<li>$log_{\left(x+1\right)}{\left(x^2 -2^x &#8211; 8\right)}=2 \Leftrightarrow$</li>
<li>${\left(x+1\right)}^2=x^2 -2x &#8211; 8 \Leftrightarrow$</li>
<li>$x^2+2x+1=x^2-2x-8$</li>
</ul>
9) Continuando:
<ul>
<li>$2x+2x+-8-1 \Leftrightarrow$</li>
<li>$4x=-9 \Leftrightarrow$</li>
<li>$x=-\dfrac{9}{4}$</li>
</ul>
10) Como $-\frac{9}{4}\notin D_f$, não há solução para $f\left(x\right) =2$.
11) c) Como $x>4$, $f\left(x\right) =log_{\left(x+1\right)}{\left(x^2 -2^x &#8211; 8\right)}$ é uma função estritamente crescente. Portanto:
<ul>
<li>$f\left(x\right) >1 \Leftrightarrow$</li>
<li>$log_{\left(x+1\right)}{\left(x^2 -2^x &#8211; 8\right)}>1 \Leftrightarrow$</li>
<li>$x^2 -2x &#8211; 8>x+1 \Leftrightarrow$</li>
<li>$x^2 -3x &#8211; 9>0 \Leftrightarrow$</li>
<li>$x<x_1\text{ ou }x>x_2$</li>
</ul>
12) Onde $x_1$ e $x_2$ são as raízes de $x^2 -3x &#8211; 9$. $x_1$ e $x_2$ são iguais a:
<ul>
<li>$x_{1,2}= \dfrac{-{\left(-3 \right)}\pm\sqrt{{\left(-3 \right)}^2-4\cdot 1\cdot {\left(-9 \right)}}}{2\cdot 1} \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{9+36}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{45}}{2}$</li>
</ul>
13) Continuando:
<ul>
<li>$x_{1,2}=\dfrac{3\pm\sqrt{45}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$ x_{1,2}=\dfrac{3\pm3\sqrt{5}}{2} \Rightarrow$</li>
<li>$x_{1}=\dfrac{3+3\sqrt{5}}{2},x_2\dfrac{3-3\sqrt{5}}{2}$</li>
</ul>
14) Assim:
<ul>
<li>$S=\left\{ x\in \mathbb{R}|x> \dfrac{3+3\sqrt{5}}{2} \right\}$</li>
</ul>
Pois $x>4$.
15) Respostas: 
<img src="http://wp-exercicios-resolvidos.s3.amazonaws.com/wp-content/uploads/2020/08/01202655/figura-imagem-1.png" />

<ul>
<li>$a) D_f=\left\{x\in\mathbb{R}| x>4\right\}$</li>
<li>$b) S=\emptyset$</li>
<li>$c) S=\left\{ x\in\mathbb{R}|x> \dfrac{3+3\sqrt{5}}{2} \right\}$</li>
</ul>

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