Área da base de uma torre inclinada

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


As torres Puerta de Europa são duas torres inclinadas uma contra a outra, construídas numa avenida de Madri, na Espanha. A inclinação das torres é de com a vertical e elas têm, cada uma, uma altura de (a altura é indicada na figura como o segmento AB). Estas torres são um bom exemplo de um prisma oblíquo de base quadrada e uma delas pode ser observada na imagem. (FIGURA 1)

Utilizando como valor aproximado para a tangente de
e duas casas decimais nas operações, descobre-se que a
área da base desse prédio ocupa na avenida um espaço
a) menor que .
b) entre e .
c) entre e .
d) entre e .
e) maior que .

Resolução


1) Pelo enunciado pode-se ver que se trata-se de um problema envolvendo trigonometria, entendimento das relações entre lados e ângulos de um triângulo e uma área aproximada ( quando estes problemas do ENEM dão alternativas aproximadas geralmente é porque o cálculo sem artifício de calculadoras é um pouco mais penoso), pelo enunciado vemos que precisamos saber quanto mede um dos lados da base (quadrada) para calcular a área, e só podemos saber isso através de correlalções entre as grandezas do triângulo. Então temos as seguintes formulas:

  • 1
  • 2

sendo a = tado da base

2) É possivel ver a na prórpria FIGURA 1 o desenho do triângulo ao qual o enunciado se refere de tangente = , o angulo de , sabendo se que a tangente pode ser obtida pela fórmula 1 e o cateto oposto tem comprimento igual ao lado da base.

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

Esta última operação foi um pouco penosa mas ainda , mas necessária, uma aproximação agora resultaria mais a ferente em um resultado com margem de erro maior.

3) Agora que sabemos que podemos calcular a área, essa soma , feita sem auxílio de calculadora é penosa, e o enunciado não nos da alternativas exatas, podemos então fazer uma inferência usando como o primeiro número inteiro maior que 29,64 (30) e o primeiro menor que 29,64 (29)

  • 1
  • 2

4) A resposta é a alternativa E

  • 1
  • 2

Observem que uma variação de no lado fez o valor da área variar mais de , por isso muito cuidado com os arredondamentos no meio da resolução. Se não fosse possível obter a resposta por meio do calculo dos inteiros maiores e menores teríamos que fazer a conta do número mais aproximado ou mesmo o número real, se as alternativas de resposta fossem muito próximas.