Cálculo da probabilidade de um menino voltar à sua posição inicial no sexto passo

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Numa certa brincadeira, um menino dispõe de uma caixa contendo quatro bolas, cada qual marcada com apenas uma destas letras: , , e . Ao retirar aleatoriamente uma bola, ele vê a letra correspondente e devolve a bola à caixa. Se essa letra for , ele dá um passo na direção Norte; se , em direção Sul, se , na direção Leste e se , na direção Oeste.

Qual a probabilidade de ele voltar para a posição inicial no sexto passo?

Resolução


1) Para que o menino volte para a posição inicial, ele deve dar o mesmo número de passos numa direção e na direção oposta.

2) Como ele dá passos, ele pode dar passos numa direção (e na direção oposta) ou dar passos numa direção (e na direção oposta) e passo na direção (diferente da anterior e na direção oposta).

3) Assim, para voltar para a mesma posição, os passos dados podem ser:

4) Vamos calcular a quantidade de casos em cada uma das alternativas. A chance de retirar cada uma das bolas é .

5)

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

Isto é, a probabilidade de se retirar cada uma as bolas e a permutação das bolas com repetição de e delas.

6) Análogo ao caso anterior.

7)

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

Isto é, a probabilidade de se retirar cada uma as bolas e a permutação das bolas com repetição de e delas.

8) Análogo ao caso anterior.

9) Assim a probabilidade, de o menino voltar à sua posição inicial é igual a:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5