Cálculo da quantidade de divisores de um número (diferentes dele) dada a decomposição em fatores primos

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Durante a Segunda Guerra Mundial, para decifrarem
as mensagens secretas, foi utilizada a técnica de
decomposição em fatores primos. Um número é dado
pela expressão na qual e são números
inteiros não negativos. Sabe-se que é múltiplo de e
não é múltiplo de .

O número de divisores de , diferentes de , é:

A) .
B) .
C) .
D) .
E) .

Resolução


1) Segundo o enunciado, é um número do formato , com e e e são inteiros.

2) Independente do valor de e , a quantidade total de divisores positivos de é:

3) Pois existem possibilidades para o fator dividir o número (os valores e o valor ).

4) Analogamente podemos aplicar o mesmo raciocínio para os fatores e .

5) Como queremos a quantidade de divisores de diferentes de , descontamos o valor de , logo a quantidade de divisores de diferetens de é:

6) Observe que o enunciado cita que não é múltilpo de , logo , mas na expressão anterior, isso não altera a quantidade de divisores, pois:

  • 1
  • 2

Que não altera o produto.

7) Com é múltiplo de , necessariamente:

  • 1
  • 2

8) A Resposta é a Letra E.