Cálculo da quantidade total de joias que podem ser produzidas com uma dada figura e com três cores

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Um artesão de joias tem à sua disposição pedras brasileiras
de três cores: vermelhas, azuis e verdes.
Ele pretende produzir joias constituídas por uma liga
metálica, a partir de um molde no formato de um losango
não quadrado com pedras nos seus vértices, de modo que
dois vértices consecutivos tenham sempre pedras de cores
diferentes.
A Figura do Enunciado ilustra uma joia, produzida por esse artesão, cujos
vértices A, B, C e D correspondem às posições ocupadas
pelas pedras.

Com base nas informações fornecidas, quantas joias
diferentes, nesse formato, o artesão poderá obter?

A) 6.
B) 12.
C) 18.
D) 24.
E) 36.

Resolução


1) O losango na Figura do Enunciado é simétrico em relação aos pontos A e C, conforme as Figuras de Resolução 1 e 2 e em relação ao eixo que liga os pontos B e D, conforme as Figuras de Resolução 3 e 4.

2) Logo no cálculo da quantidade de joias utilizando o eixo de simetria devemos dividir a quantidade por 2. Necessariamente sempre teremos um eixo de simetria (podemos ter até dois). Pois não podemos ter a seguinte configuração: Em A cor 1; em B: cor 2; em C: cor 3; em D não podemos ter a cor 3 ou 1 (pois são vizinhas a C ou A).

3) Logo devemos ter a cor 2, a mesma de B, assim o eixo de simetria é o que liga os pontos B e D.

4) Vamos ao cálculo:

5) Eixo de simetria A e C:

6) Eixo de simetria B e D:

7) Assim teremos ao total possibilidades de fazer a joia.

8) A Resposta é a Letra B.