Cálculo da relação entre os raios de duas circunferências cujos polígonos regulares inscritos têm a mesma área

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Um hexágono convexo regular e um triângulo equilátero estão inscritos em circunferências de raios e , respectivamente. Sabendo-se que e têm mesma área, determine a razão .

Resolução


1) Um esboço do hexágono está na Figura de Resolução – Hexágono e do triângulo está na Figura de Resolução – Triângulo.

2) A área de , , é igual á soma das áreas de triângulos de lados iguais a . Assim:

  • 1
  • 2
  • 3

3) Conforme a Figura de Resolução – Triângulo, é o baricentro do triângulo , logo , logo a altura do triângulo é igual a:

  • 1
  • 2

4) Logo a medida do lado do triângulo da Figura de Resolução – Triângulo é igual a:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

5) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

6) A área do triângulo , , é igual a:

  • 1
  • 2
  • 3

7) Assim é igual a:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

8) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3