Cálculo das aretas de um tetraedro

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Na construção de um tetraedro, dobra-se uma folha retangular de papel, com lados de e , ao longo de uma de suas diagonais, de modo que essas duas partes da folha formem um ângulo reto e constituam duas faces do tetraedro. Numa segunda etapa, de maneira adequada, completa-se com outro papel as faces restantes para formar o tetraedro. Obtenha as medidas das arestas do tetraedro.

Resolução


1) Um esboço do problema está na Figura de Resolução.

2) O retângulo é dobrado, logo as medidas das arestas permanecem as mesmas, assim , , e .

3) Além disso, os triângulos e são triângulos retângulos onde .

4) Resta calcular o valor de e .

5) Como o triângulo é retângulo em , temos que:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

6) O triângulo é retângulo em . Como , temos que:

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  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

7) Como , temos que:

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  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

8) O triângulo é retângulo em . Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo (que não é um triângulo retângulo), temos:

  • 1
  • 2
  • 3

9) Continuando:

  • 1
  • 2

10) O triângulo é retângulo em , logo:

  • 1
  • 2
  • 3

11) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3

12) As arestas do tetraedro são iguais a: