Cálculo das coordenadas de um ponto que pertence a duas circunferências

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Considere as circunferências

e

O triângulo satisfaz as seguintes propriedades:

i) o lado coincide com a corda comum a e ;
ii) o vértice pertence ao primeiro quadrante;
iii) o vértice pertence a e a reta que contém é tangente a .

Determine as coordenadas do vértice .

Resolução


1) Um esboço da figura descrita pelo enunciado está na figura de Resolução.

2) O centro e o raio da circunferência são iguais a:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

3) Continuando:

  • 1
  • 2

4) O centro e o raio da circunferência são iguais a:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

5) Continuando:

  • 1
  • 2

6) Vamos calcular os pontos e :

  • 1
  • 2
  • 3

7) Assim:

8) Portanto:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

9) Continuando:

  • 1
  • 2

10) Portanto:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

11) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

12) Logo a corda comum a e é o segmento .

13) A reta que passa por e é tangente a , logo ela é perpendicular ao vetor , que é igual a:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

14) Seja o vetor diretor da reta , assim:

  • 1
  • 2
  • 3

15) Podemos tomar e . Assim a reta é igual a:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

16) O ponto é a intersecção entre a reta e a circunferência (a outra intersecção é o ponto ). Assim:

  • 1
  • 2
  • 3

17) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3

18) Assim:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

19) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3

20) Logo:

  • 1
  • 2
  • 3

21) Assim:

Ilustrando:

figura 1