Cálculo das probabilidades de se escolher um grupo de atletas entre um grupo de equipes

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Uma competição esportiva envolveu equipes
com atletas cada. Uma denúncia à organização dizia
que um dos atletas havia utilizado substância proibida.
Os organizadores, então, decidiram fazer um exame
antidoping. Foram propostos três modos diferentes para
escolher os atletas que irão realizá-lo:

I) sortear três atletas dentre todos os participantes;

II) sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas;

III) sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.

Considere que todos os atletas têm igual probabilidade
de serem sorteados e que , e sejam as
probabilidades de o atleta que utilizou a substância
proibida seja um dos escolhidos para o exame no caso do
sorteio ser feito pelo modo , ou .

Comparando-se essas probabilidades, obtém-se:

A) .
B) .
C) .
D) .
E) .

Resolução


1) Seja um evento e o conjuntos com todos os eventos possíveis num experimento. A probabilidade de ocorrer é:

2) Vamos considerar em cada um dos modos de sorteio que a ordem de escolha importa, ou seja, o jogador (ou equipe) pode ser escolhido na , ou retirada.

3) I) Sortear três atletas dentre todos os participantes.

4) Com a ordem de escolha dos atletas importa, a quantidade de possibilidades de escolher atletas, entre é:

5) A quantidade total de possibilidades de o atleta dopado ser escolhido na retirada é:

6) Ou seja, ele sai na retirada e há atletas diferentes na retirada e atletas diferentes na .

7) Analogamente, a probabilidade de o atleta ser retirado na e retirada são respectivamente:

  • 1
  • 2

8) Assim:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

9) II) Sortear primeiro uma das equipes e, desta, sortear três atletas.

10) Dado que uma equipe foi escolhida, a quantidade total de possibilidades de se escolher atletas em (lembrando que a ordem importa) é:

11) Assim a quantidade total de possibilidades ao se escolher uma equipe e sortear atletas é:

12) A quantidade total de possibilidades de o atleta dopado ser escolhido na retirada é:

13) Ou seja, a equipe dele é escolhida, ele sai na retirada e há atletas diferentes na retirada e atletas diferentes na .

14) Analogamente, a probabilidade de o atleta ser retirado na e retirada são respectivamente:

  • 1
  • 2

15) Assim:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

16) III) Sortear primeiro três equipes e, então, sortear um atleta de cada uma dessas três equipes.

17) Dado que equipes foram escolhidas, a quantidade total de possibilidades de se escolher atleta de cada equipe é:

18) Assim a quantidade total de possibilidades ao se escolher equipes e sortear atleta de cada uma delas:

19) A quantidade total de possibilidades de o atleta dopado ser escolhido na retirada é:

20) Ou seja, a equipe dele é escolhida na retirada e há equipes diferentes na retirada e equipes diferentes na .

21) Como a equipe dele saiu na retirada, ele sai no primeiro sorteio e há atletas diferentes na retirada e atletas diferentes na retirada.

22) Analogamente, a probabilidade de a equipe do atleta ser retirada na e retirada são respectivamente:

  • 1
  • 2

23) Assim:

  • 1
  • 2
  • 3

24) Continuando:

25) Assim:

26) A Resposta é a Letra E.