Cálculo das soluções de uma equação trigonométrica

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Os valores de que satisfazem a equação são:

A) e .
B) e .
C) e .
D) e .
E) e .

Resolução


1) Vamos fazer algumas substituições na equação e depois voltar nela para verificar quais são soluções ou não.

2) Assim:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

3) Como , temos que:

  • 1
  • 2
  • 3

4) Continuando:

  • 1
  • 2

5) Fazendo , temos que:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

6) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

7) Assim:

  • 1
  • 2

8) E:

  • 1
  • 2

9) Onde e estão indicados na Figura de Resolução.

10) O valor de .

11) Para , temos que:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

12) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3

13) Vamos substituir os valor de e na primeira equação.

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

14) é solução da primeira equação.

15) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6

16) é solução da primeira equação.

17) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

18) não é solução da primeira equação.

19) Portanto das soluções encontradas, somente duas servem e estão no intervalo , que são:

20) A Resposta é a Letra A.