Cálculo de distâncias e dos pontos que equidistam de dois conjuntos num plano cartesiano

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Sejam um subconjunto de e um ponto de . Define-se distância de a , , como a menor das distâncias , com :

Sejam e .

i) Determine quando e quando .

ii) Determine o lugar geométrico dos pontos do plano equidistantes de e de .

Resolução


1) Um esboço do problema está na Figura de Resolução 1.

figura 1

2) a) Temos que:

  • 1
  • 2

3) E que:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

4) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3

5) Vamos chamar de o conjuntos dos pontos do plano que equidistam de e .

6) Conforme a Figura de Resolução 1, os pontos que equidistam de e podem ter a mesma distância do ponto ao conjunto (a reta ), que são:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

7) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3

8) Observe que a equação anterior só é válida para , pois se , então os pontos que equidistam de e são os da reta e se , são os pontos da reta .

9) Um esboço dos pontos que equidistam de e está na Figura de Resolução 2.

figura 1

10) Assim: