Cálculo do valor de um segmento cujos extremos estão no lado de um triângulo

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


figura 1

Em um triângulo equilátero de lado , considere os pontos , e pertencentes aos lados , e , respectivamente, tais que:

a) é o ponto médio de ;
b) é o ponto médio de ;
c) é a bissetriz do ângulo .

Então, o comprimento do segmento é igual a:

a) .
b) .
c) .
d) .
e) .

Resolução


1) Um esboço do problema está na Figura de Resolução.

2) Para calcular o valor de , vamos aplicar a Lei dos Cossenos no triângulo , onde e . Precisamos calcular o valor de .

3) No triângulo , temos que:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

4) No triângulo , pelo Teorema da Bissetriz, temos que:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

5) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

6) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

7) Aplicando a Lei dos Cossenos no triângulo , temos que:

  • 1
  • 2

8) Continuando:

  • 1
  • 2

9) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

10) A Resposta é a Letra D.