Cálculo do volume de um tetraedro inscrito num cone

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Em um cone circular reto de altura e raio da base inscreve-se um tetraedro regular com uma de suas faces paralela à base do cone, e o vértice oposto coincidindo com o centro da base do cone. Determine o volume do tetraedro.

Resolução


1) Observe a Figura de Resolução.

2) Seja a a medida da aresta do tetraedro regular ABCD.

3) O volume V do tetraedro regular ABCD é igual a:

  • 1
  • 2

4) A medida da altura é igual a , logo o volume do tetradro é igual a:

  • 1
  • 2

5) Pela simetria da Figura de Resolução, é a altura e M é o baricentro do triângulo , assim:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

6) O triângulo é retângulo em , Como , segue que , logo:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

7) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

8) Assim:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

9) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

10) O volume do tetraedro é igual a: