Progressão aritmética e Maximização

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Uma progressão aritmética , onde , tem . Se é a soma dos n primeiros termos desta progressão, qual é o valor de n para que seja máxima?

Resolução


1) Vamos utilizar a expressão dada pelo exercício e a fórmula do termo geral de uma progressão aritmética. A fórmula geral de uma progressão aritmética é:

Onde é o primeiro termo da P.A., n é o n-ésimo termo da P.A. e r é a razão.

2) Pela expressão dada no enunciado do exercício temos:

3) Continuando:

4) A fórmula da soma dos termos de uma P.A. é:

  • 1
  • 2
  • 3

5) Substituindo na fórmula anterior, temos:

  • 1
  • 2

6) Continuando:

  • 1
  • 2

7) Agora, analisando-se a fórmula anterior, temos que ter

8) O ponto de mínimo do polinômio é igual a semi-soma de suas raízes. As raízes deste polinômio são:

  • 1
  • 2

9) A semi-soma das raízes é .

10) Logo o valor de n para que seja o máximo é: