Queda Livre – Problema Avançado

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Um fazendeiro precisa saber a que profundidade de um poço em sua propriedade, para isso ele abandona uma pedra na boca do poço e espera ouvir o som da pedra atingindo a água. Com um cronômetro, ele observa que, do momento em que ele soltou a pedra até o instante em que ouviu o som dela atingindo a água, se passaram . Qual é aproximadamente a altura do poço a partir da superfície da água?

Notas: Despreze o efeito da resistência do ar, e considere a aceleração da gravidade e a velocidade do som no ar .

Resolução


1) O tempo total decorrido é o tempo que a pedra leva para atingir a água somado com o tempo que o som desse evento leva para chegar aos ouvidos do fazendeiro.

Sendo o tempo que a pedra leva para atingir a água; e o tempo que o som desse evento leva para chegar aos ouvidos do fazendeiro.

2) Pelo movimento da pedra:

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Sendo o tempo que a pedra leva para atingir a água; e o seu deslocamento, ou seja, a altura do poço! (Numa queda livre, consideramos nulas a posição inicial () e a velocidade inicial ())

3) Pelo som (M.R.U.):

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Sendo o tempo que o som leva para chegar aos ouvidos do fazendeiro; e a altura do poço.

4) Como a altura do poço é a mesma para ambos os casos:

5) Lembre que . Portanto temos que

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Obtivemos uma equação do segundo grau.

6) Com Bhaskara, resolvemos a equação do segundo grau e encontramos .

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. E nos interessa apenas o resultado positivo, pois um tempo negativo não possui interpretação física relevante nesse caso.

7) Substituindo na equação apropriada:

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O poço possui aproximadamente metros de altura a partir da superfície da água.