Resolução de um sistema de equações trigonométricas

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Sejam x e y pertencentes ao intervalo . Determine todos os pares ordenados tais que:

Resolução


1) Vamos resolver o sistema a seguir.

2) Logo:

  • 1
  • 2

3) Continuando:

4) Somando as duas últimas equações, temos que:

  • 1
  • 2
  • 3

5) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3

6) Elevando-se ao quadrado os dois lados da última equação, temos que:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

7) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3

8) Fazendo , a última equação fica igual a:

  • 1
  • 2
  • 3

9) é raiz da última equação, pois:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6

10) também é raiz da equação, pois:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6

11) Logo o polinômio é divisível por . A divisão está na Figura de Resolução.

12) Vamos calcular as raízes de .

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

13) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3

14) Assim os possíveis valores para são:

15) Observe que , logo e , onde .

16) Se , temos que:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

17) Continuando:

  • 1
  • 2

não é solução.

18) Se , temos que:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

19) Continuando:

  • 1
  • 2

20) Se , então .

21) Se :

  • 1
  • 2

22) Assim:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

Logo não é solução.

23) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

24) Se , então . Assim:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

25) Continuando:

  • 1
  • 2

26) Assim:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

27) Continuando:

Logo é solução.

28) As soluções são: