Sequências Numéricas – Exercício Avançado

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Seja , uma função tal que para todo n, inteiro poditivo. Determine o valor de .

Resolução


1) Observe que, se :

2) Assim, temos que:

  • 1
  • 2

3) Continuando:

  • 1
  • 2

4) Continuando:

  • 1
  • 2

5) Vamos analisar alguns valores de para tentar encontrar alguma Fórmula para a sequência:

  • 1
  • 2
  • 3

6) Mais um valor para :

  • 1
  • 2

7) Podemos supor que os termos dessa sequência podem ser calculados com a seguinte Fórmula:

8) Para provar que a nossa suposição está correta, vamos aplicar o Princípio da Indução Finita:

  • 1
  • 2
  • 3

9) \textbf{Hipótese de Indução:} Os termos da nossa sequência podem ser representados pela Fórmula até o valor . Vamos provar que ela é válida para . Assim:

Esta é a Fórmula que chegamos na etapa (não é a suposição).

10) Pela Hipótese de Indução, a Fórmula é válida até o valor . Substituindo-se a Fórmula na expressão da etapa anterior, temos:

11) Basta reorganizar os termos da expressão da etapa anterior para ver que a Fórmula é válida para :

12) Assim, pelo Princípio da Indução Finita, temos que a Fórmula é válida para todo número natural.

13) Assim:

14) Basta cancelar os termos iguais nos numeradores e denominadores, assim temos:

  • 1
  • 2

15) Assim: