Verificação das propriedades de um polinômio

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Seja o polinômio dado por , em que os expoentes ; ; formam, nesta ordem, uma progressão geométrica cuja soma dos termos é igual a . Considere as seguintes afirmações:

I) é uma raiz dupla de .
II) é uma raiz dupla de .
III) tem quatro raízes com parte imaginária não nula.

Destas, é (são) verdadeira(s):

a) apenas .
b) apenas e .
c) apenas e .
d) apenas e .
e) , e .

Resolução


1) Como formam uma cuja soma é igual a , temos que:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

2) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

3) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3

4) Logo:

  • 1
  • 2
  • 3

5) O polínômio é .

6) Vamos analisar cada uma das alternativas.

7) I: Verdadeira. Pois o polinômio é:

  • 1
  • 2

8) II: Falsa. é raiz de , pois:

  • 1
  • 2
  • 3

9) também é raiz de , pois:

  • 1
  • 2
  • 3

10) Logo é divisível por (a divisão está na Figura de Resolução). Portanto:

11) Vamos calcular as raízes de . fazendo , temos que:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

12) Assim:

  • 1
  • 2

13) III: Verdadeira. Conforme a equação anterior, possui raízes imaginárias cuja parte imaginária é não-nula.

14) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.

15) A Resposta é a Letra C.