Verificação de lugares geométricos gerados por equações

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Considere as afirmações a seguir:

I) O lugar geométrico do ponto médio de um segmento , com comprimento fixado, cujos extremos se deslocam livremente sobre os eixos coordenados é uma circunferência.
II) O lugar geométrico dos pontos tais que é um conjunto infinito no plano cartesiano .
III) Os pontos , e pertencem a uma circunferência.

Destas, é (são) verdadeira(s):

A) apenas I.
B) apenas II.
C) apenas III.
D) I e II.
E) I e III.

Resolução


1) Vamos analisar cada uma das afirmações.

2) I: Verdadeira. Observe a Figura de Resolução.

3) Seja o ponto médio do segmento , onde e . Como , temos que:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

4) A equação é uma circunferência de raio e cento .

5) II: Falsa. Temos que.

  • 1
  • 2
  • 3

6) Vamos resolver a equação do segundo grau em .

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

7) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3

8) Assim:

  • 1
  • 2
  • 3

9) E.

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

10) Portanto.

  • 1
  • 2
  • 3

11) A equação de três retas, logo o lugar geométrico é infinito.

12) III: Falsa. Temos que:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

13) Os pontos são colineares, logo eles não pertencem a uma circunferência.

14) Somente afirmação I é correta.

15) A Resposta é a Letra A.