Verificação de Propriedades da Sequência de Fibonacci

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Seja a sequência definida da seguinte forma: , e para . Considere as afirmações a seguir:
I) Existem três termos consecutivos, , que, nesta ordem, formam uma progressão geométrica.

II) é um número primo.

III) Se é múltiplo de , então é par.

É (são) verdadeira(s):

A) apenas II.
B) apenas I e II.
C) apenas I e III.
D) apenas II e III.
E) I, II e III.

Resolução


1) A sequência descrita no enunciado é a Sequência de Fibonacci. Alguns elementos da sequência são:

2) Vamos julgar cada uma das afirmações.

3) I: Falsa. Se existem tal que três termos consecutivos, , formem uma progressão geométrica, então:

4) Além disso:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

5) Assim:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

6) Como os elementos da Sequência de Fibonacci são inteiros, três elementos consecutivos, , não podem formar uma , pois .

7) II: Verdadeira. Conforme a Sequência de Fibonacci é primo.

8) III: Verdadeira. Observe a Sequência de Fibonacci.

9) Com relação à paridade, a sequência é da seguinte forma:

10) A Resposta é a Letra D.