Verificação de propriedades sobre elementos de matrizes

Carlos Humberto de Oliveira

Formado em Matemática pela UFRJ.


Seja a matriz tal que . Considere as afirmações a seguir:
I) Os elementos de cada linha formam uma progressão aritmética de razão .
II) Os elementos de cada coluna formam uma progressão geométrica de razão .
III) é um número primo.
É (são) verdadeira(s):

A) apenas I.
B) apenas I e II.
C) apenas II e III.
D) apenas I e III.
E) I, II e III.

Resolução


1) Vamos analisar cada uma das afirmações.

2) I: Verdadeira. Seja fixo. Para , temos que o elemento é igual a:

  • 1
  • 2
  • 3

3) O elemento é igual a:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5
  • 6

4) Logo os elementos de uma linha fixa formam uma com razão e .

5) II: Verdadeira. Seja fixo. O elemento é igual a:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4
  • 5

6) Logo os elementos de uma coluna fixa formam uma com razão e .

7) III: Verdadeira. é igual à soma dos elementos da diagonal principal de . Os elementos da diagonal principal (quando ) de são iguais a:

  • 1
  • 2
  • 3

8) Assim:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

9) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

10) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

11) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

12) Continuando:

  • 1
  • 2
  • 3
  • 4

13) Assim:

  • 1
  • 2

14) é um número primo.

15) As três afirmativas são verdadeiras.

16) A Resposta é a Letra E.